Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2089

3В. Положим p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка =1 плюс x плюс \ldots плюс x в степени n .

а)  Докажите, что многочлен pn имеет вещественные корни тогда и только тогда, когда число n нечетно.

б)  Пусть z_1, z_2, \ldots, z_n  — комплексные корни многочлена pn. Докажите, что  левая круглая скобка 1 минус z_1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус z_2 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка 1 минус z_n правая круглая скобка =n плюс 1.

в)  Найдите все n, при которых многочлен pn делится на 1 плюс x в кубе .

г)  Докажите, что

 \sum_k=0 в степени n C_n плюс 1 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка p_k левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 в степени n p_n левая круглая скобка \tfracx плюс 12 правая круглая скобка .

Спрятать решение

Решение.

а)  Представим многочлен в виде p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: x минус 1 конец дроби =0. Очевидно, что уравнение x в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =1, имеет вещественный корень, отличный от 1, только если n плюс 1 — четное число. Следовательно, число n  — нечетное.

б)  Ясно, что

p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус z_1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус z_2 правая круглая скобка ... левая круглая скобка x минус z_n правая круглая скобка =1 плюс x плюс x в квадрате плюс ... плюс x в степени n .

Остается лишь подставить x=1.

в)  Многочлен pn делится на x в кубе плюс 1, если все корни последнего многочлена, т. е. кубические корни из −1, являются и корнями pn, т. е. уравнения x в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =1. Но это означает, что  левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка \vdots 6.

г)  Доказательство проведем по индукции. При n=1 получаем:

C_2 в степени 1 p_0 левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс C_2 в квадрате p_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка =2p_1 левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка  — очевидно верно.

Предположим, что утверждение верно при n, докажем его истинность при n плюс 1:

 2 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка p_n плюс 1 левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = 2 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка p_n левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =
=2 умножить на 2 в степени n умножить на p_n левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =2\sum_k=0 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка C_n плюс 1 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка p_k левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс \sum_k=0 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка C_n плюс 1 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка x в степени k =
=2\sum_k=0 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка C_n плюс 1 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка p_k левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс \sum_k=0 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка C_n плюс 1 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка p_k левая круглая скобка x правая круглая скобка минус \sum_k=0 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка C_n плюс 1 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка p_k левая круглая скобка x правая круглая скобка =\sum_k=0 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка C_n плюс 1 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка p_k левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс \sum_k=0 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка C_n плюс 1 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка p_k левая круглая скобка x правая круглая скобка =\sum_k=0 в степени левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка C_n плюс 2 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка p_k левая круглая скобка x правая круглая скобка .

Ответ: в) 6k плюс 5 : k принадлежит Z .

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 1
? Классификатор: Прогрессии
?
Сложность: 11 из 10