10. Тригонометрические уравнения, корни на промежутке
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все решения уравнения 
на отрезке 
Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Решим уравнение
Если 
то 
где 
если 
то 
где 
если 
то 
где 
если 
то 
где 
если 
то 
где 
Ответ: 
Ⅱ способ. Обозначим 
Задачу можно переформулировать так: найти корни уравнения 
на отрезке Длина этого отрезка равна 
т. е. периоду функции синус, что удобно. Решения этого уравнения
где 
При 
число серии (1) 
лежит внутри отрезка 
поэтому никакие другие числа серии (1) не принадлежат этому отрезку, поскольку его длина 
При 
число серии (2) 
— правый конец отрезка, при получим 
— левый его конец, а другие числа серии (2) не принадлежат отрезку. Возвращаясь к переменной x получаем 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 3612
Укажите все корни уравнения 
принадлежащие отрезку 
Представим уравнение в виде 
Оно распадается на два уравнения: 
и 
1) Решим 
где k — целое число. Проведем отбор корней: 
тогда 
Число k — целое, значит, 
и на промежутке 
имеется три корня 
2) Решим 
где k — целое. Рассмотрим первую серию корней, 
и выделим из них те, что принадлежат данному промежутку:
В этой серии получаем корни 
и 
Корни второй серии могут быть записаны с учетом четности 
и симметричности отрезка 
и 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 3434
Решите уравнение 
и укажите его наибольший корень, принадлежащий отрезку 
Приведем данное в условии уравнение к виду
Введем обозначение 
где 
Получим уравнение
удовлетворяющие условию 
Тогда задача сводится к совокупности уравнений 
и
решим ее:
где 
Рассмотрим каждую из полученных трех серий решений и выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку 
Поскольку каждая серия корней — арифметическая прогрессия с разностью 
а длина указанного отрезка — тоже получаем, что в каждой серии ровно один корень принадлежит отрезку (При этом важным является также тот факт, что ни один из корней не совпадает с концом отрезка). Выпишем эти корни:
Наибольший среди них 
Ответ: 
наибольший корень, принадлежащий указанному отрезку, есть 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
наибольший корень, принадлежащий указанному отрезку, есть Задание парного варианта: 3447
Найдите все решения уравнения 
на отрезке 
Понизив степень уравнения, получаем
Это равенство выполняется только при
Если допустить от противного , что 
то, в силу наличия множителя 4, неравного по модулю единице, сразу придем к противоречию. На отрезке 
только два числа удовлетворяют уравнению (1): 
и 
Ответ: 
Замечание. Пусть имеется уравнение 
где a — некоторое число, причем 
Исходя из понимания того, что такое модуль числа, получаем, что приведенное уравнение равносильно уравнению 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 3580
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх