Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3606

Найдите все решения уравнения  синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу двумя способами.

Ⅰ  способ. Решим уравнение

 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =( минус 1) в степени n дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n равносильно  x=( минус 1) в степени n дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z .

Если n=0, то x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , где  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ;

если n=1, то x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , где  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ;

если n больше 0, то x больше дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , где x \notin левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ;

если n= минус 1, то x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , где  минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ;

если n меньше минус 1, то x меньше минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , где x \notin левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

 

Ответ: \left\ минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби \.

 

Ⅱ  способ. Обозначим  дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =t. Задачу можно переформулировать так: найти корни уравнения  синус t= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Длина этого отрезка равна 2 Пи , т. е. периоду функции синус, что удобно. Решения этого уравнения

 совокупность выражений t= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, \qquad(1) t= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, \qquad(2) конец совокупности .

где k, n принадлежит Z . При k=0 число серии (1) t= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби лежит внутри отрезка  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка , поэтому никакие другие числа серии (1) не принадлежат этому отрезку, поскольку его длина 2 Пи . При n=0 число серии (2) t= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби  — правый конец отрезка, при n= минус 1, получим t= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби  — левый его конец, а другие числа серии (2) не принадлежат отрезку. Возвращаясь к переменной x получаем  минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3612

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1995 год, работа 6, вариант 1
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 1 из 10