Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3434
i

Ука­жи­те все корни урав­не­ния синус 2x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x=0, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При­ве­дем урав­не­ние к виду:

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2 синус x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x=0, синус = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

1)  Рас­смот­рим ко­си­нус =0, где x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z . При k  =  −1, то x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; при k  =  0, то x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; при k  =  1, то x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Все эти зна­че­ния x лежат на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . При k мень­ше минус 1, то x мень­ше минус Пи , при k боль­ше 1, то x боль­ше 2 Пи и по­это­му дру­гие корни урав­не­ния ко­си­нус х=0 не лежат на ука­зан­ном от­рез­ке.

2)  Рас­смот­рим синус x= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , где x= левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n : n при­над­ле­жит Z . Раз­бе­рем две серии ре­ше­ний: x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи левая круг­лая скоб­ка 2k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , где k при­над­ле­жит Z (1), и x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи m, где m при­над­ле­жит Z (2).

Для серии (1) при k= минус 1 имеем x= минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , при k=0 по­лу­ча­ем x= дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Эти ре­ше­ния лежат на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . При k мень­ше минус 1 вы­пол­ня­ет­ся x мень­ше минус Пи , а при k боль­ше 0 на­хо­дим x боль­ше 2 Пи . Таким об­ра­зом, из серии (1) толь­ко два корня минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби лежат на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Для серии (2) при m  =  0 по­лу­ча­ем x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , а при m  =  1 видим, что x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Эти ре­ше­ния лежат на ука­зан­ном от­рез­ке. При m мень­ше 0 имеем x мень­ше минус Пи , при m боль­ше 1 по­лу­ча­ем x боль­ше 2 Пи .

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3428

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 3 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025