Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3441
i

Ре­ши­те урав­не­ние  ко­си­нус 2x плюс 3 синус x=2 и ука­жи­те его наи­боль­ший ко­рень, при­над­ле­жа­щий от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3 Пи ; минус Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При­ве­дем дан­ное в усло­вии урав­не­ние к виду

1 минус 2 синус в квад­ра­те x плюс 3 синус x=2 рав­но­силь­но 2 синус в квад­ра­те x минус 3 синус x плюс 1=0.

Вве­дем обо­зна­че­ние t = синус х, где |t| мень­ше или равно 1. По­лу­чим урав­не­ние

2t в квад­ра­те минус 3t плюс 1=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,t=1, конец со­во­куп­но­сти .

удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию |t| мень­ше 1. Тогда за­да­ча сво­дит­ся к со­во­куп­но­сти урав­не­ний  синус x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и синус x = 1, решим ее:

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус х = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус х = 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n, конец со­во­куп­но­сти .

где k, n, m при­над­ле­жит Z . Рас­смот­рим каж­дую из по­лу­чен­ных трех серий ре­ше­ний и вы­яс­ним, какие из най­ден­ных кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3 Пи ; минус Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . По­сколь­ку каж­дая серия кор­ней  — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с раз­но­стью 2 Пи , а длина ука­зан­но­го от­рез­ка  — тоже 2 Пи , по­лу­ча­ем, что в каж­дой серии ровно один ко­рень при­над­ле­жит от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3 Пи ; минус Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . (При этом важ­ным яв­ля­ет­ся также тот факт, что ни один из кор­ней не сов­па­да­ет с кон­цом от­рез­ка). Вы­пи­шем эти корни:

 дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус 2 Пи = минус целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 Пи ,

 дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус 2 Пи = минус целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 Пи ,
 дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 Пи = минус целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 Пи .

Наи­боль­ший среди них x= минус целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 Пи .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; наи­боль­ший ко­рень, при­над­ле­жа­щий ука­зан­но­му от­рез­ку, есть  минус целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3447

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 4 из 10