Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3574
i

Най­ди­те все ре­ше­ния урав­не­ния \left| ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби |=8 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 5 на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­ни­зив сте­пень урав­не­ния, по­лу­ча­ем

\left| ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби |=4 ко­си­нус x минус 1 рав­но­силь­но \left| ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби |=4 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Это ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся толь­ко при

 ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

Если до­пу­стить от про­тив­но­го , что  ко­си­нус x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , то, в силу на­ли­чия мно­жи­те­ля 4, не­рав­но­го по мо­ду­лю еди­ни­це, сразу при­дем к про­ти­во­ре­чию. На от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка толь­ко два числа удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию (1): x= минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и  арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

За­ме­ча­ние. Пусть име­ет­ся урав­не­ние |f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка |=a умно­жить на f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , где a  — не­ко­то­рое число, при­чем |a| не равно 1. Ис­хо­дя из по­ни­ма­ния того, что такое мо­дуль числа, по­лу­ча­ем, что при­ве­ден­ное урав­не­ние рав­но­силь­но урав­не­нию f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3580

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 5 из 10