PDF-версии: 
Укажите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума функции 
Найдите наибольшее и наименьшее значения этой функции на [1; 2].
Решение. Сразу отметим, что 
Возьмем производную этой функции:
Применяя метод интервалов, установим, что это выражение положительно при 
и отрицательно при 
Поэтому функция убывает на 
и на 
и возрастает на 
Значит, наименьшее ее значение на отрезке [1; 2] будет при 
а наибольшее — в одном из концов отрезка. Вычислим их:
Ответ: Функция убывает на и на и возрастает на 
имеет минимум при 
и максимум при x = 2, наибольшее значение на отрезке равно 0, а наименьшее 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и на и возрастает на имеет минимум при и максимум при x = 2, наибольшее значение на отрезке равно 0, а наименьшее и на и возрастает на имеет минимум при и максимум при x = 2, наибольшее значение на отрезке равно 0, а наименьшее 
Найдите наибольшее и наименьшее значения этой функции на [−1; 1].
и 
поэтому 
и 
поэтому 
убывает на 
имеет глобальный минимум x = 0, наименьшее значение на [−1; 1] равно −1, а наибольшее 
первообразную, график которой касается прямой y = 16x. Постройте график найденной первообразной.
Теперь найдем первообразную, применив интегрирование по частям
то для неё 
при 
и 
и 
На 
производная положительна, следовательно, функция возрастает. На 
производная отрицательна, следовательно, функция убывает.
y не существует; при 
при 
То есть область определения 
Рассмотрим 
при 
при 
);
при 
при 
).
y возрастает, на 
убывает. При 
y выпукла вниз, при 
y выпукла вверх. Точка 
является точкой перегиба.
и 
В остальных точках она также непрерывна. Сама функция тоже непрерывна, поскольку всюду имеет производную.
получаем 
находим, что 
тогда 
получаем 
откуда 
и 
Исследуем ее монотонность с помощью производной. При 
выполнено равенство 
при 
и 
при 
При 
получим 
то есть производная положительна. Значит, функция убывает при 
и возрастает при 
и при 
Тогда 
и