3Б. Будем считать, что Земля имеет форму шара радиусом 
км. Известно, что радиоволны, на которых ведется телевещание, распространяются по прямой. Предположим, что телепередатчик расположен на высоте h от земной поверхности. Обозначим через 
расстояние по поверхности Земли от основания телебашни (или от той точки Земли, которая расположена ближе всего к ретрансляционному спутнику) до самой дальней точки, в которой возможен прием телепередачи.
а) Найдите наименьшее значение h, при котором прием возможен во всех точках некоторого меридиана севернее 
ю. ш. с. ш.,
б) Докажите, что 
в) Предположим, что передатчик размещен на Луне (т. е. на расстоянии 400 000 км от центра Земли). Покажите, что в этом случае меньше четверти длины экватора по крайней мере на 100 км.
г) Для того, чтобы обеспечить связь между двумя пунктами, расположенными на расстоянии 1600 км друг от друга, решено построить радиорелейную линию. Докажите, что если высота мачт этой линии равна 31,25 метра, то потребуются не менее 41 таких мачт.
а) На чертеже 
AB, AC — касательные к окружности, 
(точке A соответствует положение передатчика, точке O — центра Земли). По условию должно выполняться неравенство 
для этого необходимо и достаточно, чтобы:
б) Длина дуги BM равна 
ясно, что 
Заметим, что
Понятно, что если 
то 
и 
Поэтому
в) На чертеже 
AB — касательная к окружности, 
длина дуги BM равна 
Дуга CM — четверть экватора, 
(точке A соответствует положение передатчика, точке O — центра Земли). Требуется доказать, что длина дуги BC не меньше 100 км. Но эта длина равна 
Выводим:
г) На чертеже точкам A и B соответствуют вершины мачт, 
AB — касательная к окружности в точке C, 
длина дуги BC равна Обозначим s — расстояние между основаниями двух соседних мачт (при указанном их расположении), 
Поскольку 
то 
таким образом,
Пусть 
км. Получим:
Теперь оценим длину полученного интервала
для этого заметим, что выполняется неравенство 
причём
Теперь запишем:
Теперь предъявим еще одно число из интервала 
— число 
То, что оно принадлежит этому интервалу следует из двойного неравенства
Правая часть которого очевидна, а левую часть доказывается возведением в квадрат:
Поскольку число 
отличается от 40 меньше, чем на единицу, то число участков между соседними мачтами (при выбранном нами и тем более при всяком ином способе их расположения) должно быть не меньше 40, но это и означает, что нужно не менее 41 мачты.
Ответ: а) 
км; в) см. рис.
----------
Дублирует задание 2118.