Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2123

3Б. Будем считать, что Земля имеет форму шара радиусом R=6400 км. Известно, что радиоволны, на которых ведется телевещание, распространяются по прямой. Предположим, что телепередатчик расположен на высоте h от земной поверхности. Обозначим через l(h) расстояние по поверхности Земли от основания телебашни (или от той точки Земли, которая расположена ближе всего к ретрансляционному спутнику) до самой дальней точки, в которой возможен прием телепередачи.

а) Найдите наименьшее значение h, при котором прием возможен во всех точках некоторого меридиана севернее 60 градусов ю. ш. и южнее 60 градусов с. ш., если спутник висит над экватором?

б) Докажите, что \lim\limits_h\to0 дробь: числитель: l(h), знаменатель: корень из (2Rh) конец дроби =1.

в) Предположим, что передатчик размещен на Луне (т. е. на расстоянии 400 000 км от центра Земли). Покажите, что в этом случае l(h) меньше четверти длины экватора по крайней мере на 100 км.

г) Для того, чтобы обеспечить связь между двумя пунктами, расположенными на расстоянии 1600 км друг от друга, решено построить радиорелейную линию. Докажите, что если высота мачт этой линии равна 31,25 метра, то потребуются не менее 41 таких мачт.

Спрятать решение

Решение.

а) На чертеже OB=OC=OM=R, AM=h, AB, AC — касательные к окружности, \angle BOA=\angle COA= альфа (точке A соответствует положение передатчика, точке O — центра Земли). По условию должно выполняться неравенство  альфа больше или равно 60 градусов, для этого необходимо и достаточно, чтобы:

 косинус альфа меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: OB, знаменатель: OA конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2R меньше или равно R плюс h равносильно h больше или равно R.

б) Длина дуги BM равна l(h), ясно, что l(h)=R альфа . Заметим, что

 синус альфа = дробь: числитель: AB, знаменатель: AO конец дроби = дробь: числитель: корень из ((R плюс h) в квадрате минус R в квадрате ) , знаменатель: R плюс h конец дроби = дробь: числитель: корень из (2Rh плюс h в квадрате ) , знаменатель: R плюс h конец дроби .

Понятно, что если h\to0, то  синус альфа \to0 и  альфа \to0. Поэтому

 \lim_h\to0 дробь: числитель: l(h), знаменатель: корень из (2Rh) конец дроби = \lim_h\to0 дробь: числитель: альфа R синус альфа , знаменатель: синус альфа корень из (2Rh) конец дроби = \lim_h\to0 дробь: числитель: R корень из (2Rh плюс h в квадрате ) , знаменатель: (R плюс h) корень из (2Rh) конец дроби =1.

в) На чертеже OB=OM=R, AM=h, AB — касательная к окружности, \angle BOA= альфа , длина дуги BM равна l(h). Дуга CM — четверть экватора, \angle COB=\angle BAO= бета (точке A соответствует положение передатчика, точке O — центра Земли). Требуется доказать, что длина дуги BC не меньше 100 км. Но эта длина равна R бета . Выводим:

R бета больше R синус бета =R косинус альфа = дробь: числитель: R в квадрате , знаменатель: AO конец дроби = дробь: числитель: 6400 в квадрате , знаменатель: 400000 конец дроби = дробь: числитель: 2 в степени (12) умножить на 10 в степени 4 , знаменатель: 4 умножить на 10 в степени 5 конец дроби = дробь: числитель: 2 в степени (10) , знаменатель: 10 конец дроби больше 100.

г) На чертеже точкам A и B соответствуют вершины мачт, OC=OM=OK=R, AM=BK=h, AB — касательная к окружности в точке C, \angle BOC=\angle AOC= альфа , длина дуги BC равна l(h). Обозначим s — расстояние между основаниями двух соседних мачт (при указанном их расположении), s=2l(h)=2R альфа . Поскольку  синус альфа меньше альфа меньше тангенс альфа , то 2R синус альфа меньше 2R альфа меньше 2R тангенс альфа , таким образом,

 дробь: числитель: 2R корень из (2Rh плюс h в квадрате ) , знаменатель: R плюс h конец дроби меньше s меньше 2 корень из (2Rh плюс h в квадрате ) .

Пусть S=1600 км. Получим:

 дробь: числитель: S, знаменатель: конец дроби 2 корень из (2Rh плюс h в квадрате ) меньше дробь: числитель: S, знаменатель: s конец дроби меньше дробь: числитель: S(R плюс h), знаменатель: 2R корень из (2Rh плюс h в квадрате ) конец дроби .

Теперь оценим длину полученного интервала

 левая круглая скобка дробь: числитель: S, знаменатель: 2 корень из (2Rh плюс h в квадрате ) конец дроби ; дробь: числитель: S(R плюс h), знаменатель: 2 корень из (2Rh плюс h в квадрате ) конец дроби правая круглая скобка ,

для этого заметим, что выполняется неравенство  корень из (2Rh) меньше корень из (2Rh плюс h в квадрате ) , причём

 корень из (2Rh) = корень из (6400 умножить на 625 умножить на 10 в степени ( минус 4) ) =20(км).

Теперь запишем:

 дробь: числитель: S(R плюс h), знаменатель: 2R корень из (2Rh плюс h в квадрате ) конец дроби минус дробь: числитель: S, знаменатель: конец дроби 2 корень из (2Rh плюс h в квадрате ) = дробь: числитель: Sh, знаменатель: 2R корень из (2Rh плюс h в квадрате ) конец дроби = дробь: числитель: h, знаменатель: 8 корень из (2Rh плюс h в квадрате ) конец дроби меньше дробь: числитель: h, знаменатель: 8 корень из (2Rh) конец дроби = дробь: числитель: h, знаменатель: 160 конец дроби = дробь: числитель: 31,25 умножить на 10 в степени ( минус 3) , знаменатель: 160 конец дроби меньше 1.

Теперь предъявим еще одно число из интервала  левая круглая скобка дробь: числитель: S, знаменатель: 2 корень из (2Rh плюс h в квадрате ) конец дроби ; дробь: числитель: S(R плюс h), знаменатель: 2 корень из (2Rh плюс h в квадрате ) конец дроби правая круглая скобка  — число  дробь: числитель: S, знаменатель: 2 корень из (2Rh) конец дроби = дробь: числитель: 1600, знаменатель: 40 конец дроби =40. То, что оно принадлежит этому интервалу следует из двойного неравенства

 дробь: числитель: 2R корень из (2Rh плюс h в квадрате ) , знаменатель: R плюс h конец дроби меньше 2 корень из (2Rh) меньше 2 корень из (2Rh плюс h в квадрате ) .

Правая часть которого очевидна, а левую часть доказывается возведением в квадрат:

 дробь: числитель: 2R корень из (2Rh плюс h в квадрате ) , знаменатель: R плюс h конец дроби меньше 2 корень из (2Rh) равносильно R в квадрате (2Rh плюс h в квадрате ) меньше 2Rh(R плюс h) в квадрате равносильно 2R в квадрате h плюс Rh в квадрате меньше 2R в квадрате h плюс 4Rh в квадрате плюс 2h в кубе .

Поскольку число  дробь: числитель: S, знаменатель: s конец дроби отличается от 40 меньше, чем на единицу, то число участков между соседними мачтами (при выбранном нами и тем более при всяком ином способе их расположения) должно быть не меньше 40, но это и означает, что нужно не менее 41 мачты.

 

Ответ: а) h больше или равно R(h больше или равно 6400) км; в) см. рис.

 

----------

Дублирует задание 2118.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1999 год, вариант 2
? Классификатор: Геометрия
?
Сложность: 11 из 10