Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2122

3А. Комплексное число z=a плюс bi называется гауссовым, если a и b — целые числа. Говорят, что гауссово число z кратно числу w, если z=wu, где w и u — гауссовы числа. Пусть \Cal K — множество всех гауссовых чисел, кратных 1 плюс 2i.

а) Найдите все натуральные a, такие что a\leqslant20 и 2 плюс ai принадлежит \Cal K.

б) Докажите, что если z принадлежит \Cal K и \arg z= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i4, то z кратно 3 минус i.

в) Существуют ли числа u, v принадлежит \Cal K, такие что \arg дробь: числитель: u, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i8?

г) Докажите, что для всякого гауссова числа z найдется число w принадлежит \Cal K, такое что |z минус w|\leqslant1.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть z= дробь: числитель: 2 плюс ai, знаменатель: 1 плюс 2i конец дроби . Число 2 плюс ai принадлежит \Cal Kтогда и только тогда, когда z — гауссово, но

z= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби (2 плюс ai)(1 минус 2i)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби (2(1 плюс a) плюс i(a минус 4)),

поэтому 2 плюс ai принадлежит \Cal K тогда и только тогда, когда числа a минус 4 и a плюс 1 делятся на 5.

б) Посколькуz принадлежит \Cal K, то можно записать:

z=(x плюс iy)(1 плюс 2i)=x минус 2y плюс i(y плюс 2x), где x и y — целые числа.

Поскольку \arg z= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , то x минус 2y=2x плюс y, так что x= минус 3y. Окончательно получаем:

z=( минус 3y плюс iy)(1 плюс 2i)= минус y(1 плюс 2i)(3 минус i).

в) Предположим, что требуемые числа u и v существуют. Рассмотрим число z= дробь: числитель: u, знаменатель: v конец дроби =a плюс bi, заметим, что, поскольку числа u и v гауссовы, т. е. их вещественные и мнимые части — целые числа, то числа a и b рациональны. Поэтому число |z| в квадрате =a в квадрате плюс b в квадрате тоже рационально. С другой стороны, если \arg дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби , то

z=|z| левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка , а потому z в квадрате =|z| в квадрате левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка ,

так как число |z| в квадрате рационально, а число  косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби иррационально, то Re z в квадрате  — иррациональное число, но оно, очевидно, равно a в квадрате минус b в квадрате , т. е. рационально. Противоречие.

г) Числа w принадлежит \Cal K имеют вид

w=(x плюс iy)(1 плюс 2i)=x(1 плюс 2i) плюс y(i минус 2), где x, y принадлежит Z .

Поэтому совокупность всех чисел w — это множество узлов решётки, изображенной на рисунке. Любое число z оказывается, таким образом, внутри или на сторонах какого-то квадрата со стороной длины  корень из (5) , вершины которого — числа из множества K. Понятно, что можно ограничиться рассмотрением гауссовых чисел, лежащих внутри или на сторонах квадрата OABC, где A — соответствует числу 1 плюс 2i, B — числу  минус 1 плюс 3i, C — числу  минус 2 плюс i (остальные случаи можно свести к этому соответствующим параллельным переносом). Но для этих чисел (это числа 0, i, 2i, 1 плюс 2i,  минус 1 плюс i,  минус 1 плюс 2i,  минус 1 плюс 3i,  минус 2 плюс i) очевидно, что расстояние от них до ближайшей из вершин квадрата OABC не превосходит 1.

 

Ответ: а) 4; 9; 14; 19; в) таких чисел не существует.

 

----------

Дублирует задание 2117.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1999 год, вариант 2
? Классификатор: Действия над комплексными числами , Изображение множеств комплексных чисел на плоскости , Уравнения с комплексными числами и их системы
?
Сложность: 11 из 10