Пусть 
— многочлен степени n.
а) Известно, что числа 3 и 7 являются корнями многочлена 
и что 
Найдите 
б) Известно, что числа 1 и 2 являются корнями многочлена 
Пусть 
и 
причем 
Докажите, что число, делящее отрезок 
в отношении 
является третьим корнем этого многочлена.
в) Пусть 
Найдите все a, при которых многочлен 
имеет ровно два действительных корня.
г) Пусть 
Найдите все 
при которых уравнение 
имеет 1000 различных действительных корней.
а) Если 
тогда
и 
б) Представим многочлен 
в виде 
где 
а t — некое число. Теперь запишем:
и 
Тогда
Полученное и означает, что число t лежит в отрезке 
и делит его в отношении 
в) Так как 
не является корнем уравнения 
то его можно записать в виде 
Исследуем функцию 
и построим эскиз её графика. Поскольку
то эта функция убывает на промежутках 
и 
возрастает на 
Также 
Теперь ответ очевиден.
г) Для решения этой задачи также достаточно представить себе эскиз графика функции 
Заметим, что на интервалах 
эта функция принимает положительные значения, а на интервалах 
— отрицательные 
Ясно, что уравнение 
имеет ровно два решения на отрезке 
если 
где Mk — наибольшее значение этой функции на этом отрезке (наличие двух корней следует из непрерывности, больше же двух корней быть не может, ибо в противном случае на отрезке оказалось бы более одной точки, в которой производная функции 
обращается в нуль, что невозможно, ибо уравнение 
не может иметь более 999 решений). На каждом из лучей 
и 
уравнение при неотрицательных a имеет ровно одно решение. Поэтому это уравнение имеет требуемое число решений при 
где M — наименьшее из чисел 
Теперь заметим, что наибольшее значение многочлена 
на отрезке 
равно 
В самом деле, сделаем замену 
получим, что наибольшее значение функции на отрезке 
равно наибольшему значению функции 
на отрезке 
Но на отрезке 
эта функция, очевидно, возрастает, а на отрезке 
убывает,
Остается заметить, что наибольшие значения многочлена на каждом из отрезков вида 
больше числа 
Для этого достаточно убедиться в том, что число 
где 
Но это очевидно — ограничимся случаем 
тогда:
(так как число сомножителей в числителе равно числу сомножителей в знаменателе, но каждый из сомножителей числителя больше сомножителей знаменателя).
Ответ: а) −11; 
----------
Дублирует задание 2119.
-------------
Дублирует задание № 2119.Спрятать критерии