Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2124

Пусть p_n(x) — многочлен степени n.

а) Известно, что числа 3 и 7 являются корнями многочлена p_2(x) и что p_2'(3)=11. Найдите p_2'(7).

б) Известно, что числа 1 и 2 являются корнями многочлена p_3(x). Пусть p_3'(1)=k и p_3'(2)=l, причем kl больше 0. Докажите, что число, делящее отрезок [1;2] в отношении k:l, является третьим корнем этого многочлена.

в) Пусть p_3(x)=x в кубе минус 3x в квадрате минус 1. Найдите все a, при которых многочлен p_3(x) плюс ax имеет ровно два действительных корня.

г) Пусть p_1000(x)=x(x минус 2)...(x минус 1998). Найдите все a больше или равно 0, при которых уравнение p_1000(x)=a имеет 1000 различных действительных корней.

Спрятать решение

Решение.

а) Если p_2(x)=a(x минус x_1)(x минус x_2), тогда

p_2'(x)=2ax минус a(x_1 плюс x_2) и p_2'(x_2)=2ax_2 минус a(x_1 плюс x_2)=a(x_2 минус x_1)= минус p_2'(x_1).

б) Представим многочлен p_3(x) в виде p_3(x)=q(x)(x минус t), где q(1)=q(2)=0, а t  — некое число. Теперь запишем:

p_3'(x)=q'(x)(x минус t) плюс q(x) равносильно p_3'(1)=q'(1)(1 минус t) и p_3'(2)=q'(2)(2 минус t).

Тогда

дробь: числитель: p_3'(1), знаменатель: p_3'(2) конец дроби = дробь: числитель: k, знаменатель: l конец дроби = дробь: числитель: q'(1)(1 минус t), знаменатель: q'(2)(2 минус t) конец дроби = дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: 2 минус t конец дроби .

Полученное и означает, что число t лежит в отрезке [1;2] и делит его в отношении k:l.

в) Так как x=0 не является корнем уравнения x в кубе минус 3x в квадрате плюс ax минус 1=0, то его можно записать в виде дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс 3x минус x в квадрате =a. Исследуем функцию f(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс 3x минус x в квадрате и построим эскиз её графика. Поскольку

f'(x)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x в квадрате плюс 3 минус 2x= минус дробь: числитель: 2x в кубе минус 3x в квадрате плюс 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби = минус дробь: числитель: (x минус 1) в квадрате (2x плюс 1), знаменатель: x в квадрате конец дроби ,

то эта функция убывает на промежутках левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка и (0; плюс принадлежит fty), возрастает на левая круглая скобка минус принадлежит fty; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Также f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби . Теперь ответ очевиден.

г) Для решения этой задачи также достаточно представить себе эскиз графика функции y=p_1000x. Заметим, что на интервалах (4k минус 2; 4k) эта функция принимает положительные значения, а на интервалах (4k; 4k плюс 2) — отрицательные (k=1, 2, ...,499). Ясно, что уравнение p_1000=a имеет ровно два решения на отрезке [4k минус 2; 4k], если 0 меньше или равно a меньше M_k, где Mk — наибольшее значение этой функции на этом отрезке (наличие двух корней следует из непрерывности, больше же двух корней быть не может, ибо в противном случае на отрезке оказалось бы более одной точки, в которой производная функции p_1000 обращается в нуль, что невозможно, ибо уравнение p'_1000(x)=0 не может иметь более 999 решений). На каждом из лучей ( минус принадлежит fty; 0] и [1998; плюс принадлежит fty) уравнение p_1000=a при неотрицательных a имеет ровно одно решение. Поэтому это уравнение имеет требуемое число решений при 0 меньше или равно a меньше M, где M — наименьшее из чисел M_k.

Теперь заметим, что наибольшее значение многочлена p_1000(x) на отрезке [998; 1000] равно p_1000(999)=(3 умножить на 5 умножить на 7 умножить на \ldots. умножить на 999) в квадрате . В самом деле, сделаем замену t=x минус 999, получим, что наибольшее значение функции p_1000 на отрезке [998; 1000] равно наибольшему значению функции q(t)=(1 минус t в квадрате )(9 минус t в квадрате )\ldots(999 в квадрате минус t в квадрате ) на отрезке [ минус 1; 1]. Но на отрезке [ минус 1; 0] эта функция, очевидно, возрастает, а на отрезке [0; 1] убывает,

q(0)=(3 умножить на 5 умножить на 7 умножить на \ldots умножить на 999) в квадрате =p_1000(999).

Остается заметить, что наибольшие значения многочлена p_1000(x) на каждом из отрезков вида [4k минус 2; 4k], больше числа p_1000(999). Для этого достаточно убедиться в том, что число p_1000(4k минус 1) больше p_1000(999), где k не равно 250. Но это очевидно — ограничимся случаем k больше 250, тогда:

p_1000(4k минус 1)=(4k минус 1) умножить на (4k минус 3) умножить на \ldots умножить на 999 умножить на 997 умножить на \ldots умножить на 3 умножить на 1 умножить на 3 умножить на \ldots умножить на (1999 минус 4k)=
=(4k минус 1) умножить на (4k минус 3) умножить на \ldots умножить на 999 умножить на 997 умножить на \ldots умножить на 3 умножить на 1 умножить на 3 умножить на \ldots умножить на 999 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: (2001 минус 4k)(2003 минус 4k) умножить на \ldots умножить на 999 конец дроби =
=p_1000(999) умножить на дробь: числитель: (4k минус 1) умножить на (4k минус 3) умножить на \ldots умножить на 1001, знаменатель: (2001 минус 4k)(2003 минус 4k) умножить на \ldots умножить на 999 конец дроби больше p_1000(999)

(так как число сомножителей в числителе равно числу сомножителей в знаменателе, но каждый из сомножителей числителя больше сомножителей знаменателя).

 

Ответ: а) −11; в) минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби ; г) a меньше (3 умножить на 5 умножить на 7 умножить на \ldots умножить на 999) в квадрате .

 

----------

Дублирует задание 2119.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1999 год, вариант 2
? Классификатор: Задачи о многочленах
?
Сложность: 11 из 10
Спрятать решение · ·