Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2028

3. Даны три комплексных числа: z_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ( корень из 3 плюс 3i), z_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ( минус корень из 3 плюс i),\break z_3= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ( корень из 3 минус i).

а) Найдите расстояние от точки z_1 до фигуры, задаваемой уравнением |z минус z_3|=1.

б) Изобразите множество точек z комплексной плоскости, таких, что |z_2z минус z_1z_2|=|z_3z минус z_2z_3|.

в) Пусть z пробегает все точки отрезка с концами z_2, z_3, а U и V — множества точек, которые пробегают при этом u=z_2z и v=z_3z. Изобразите пересечение множеств U и V.

г) Пусть z пробегает все точки отрезка с концами z_1, z_3. Изобразите множество всех точек, которое пробегает при этом w=z в квадрате .

Спрятать решение

Решение.

а) Искомое расстояние равно длине отрезка AK (см. рис).

б) Так как |z_2|=|z_3|=1, то |z минус z_1|=|zz_2 минус z_1z_2| и |z минус z_2|=|zz_3 минус z_2z_3|, поэтому искомое множество — это срединный перпендикуляр к отрезку AB, т. е. прямая CD.

в) Поскольку z_2= минус z_3 — точки единичной окружности с центром в начале координат, то геометрически умножение на z_2 и z_3 — это повороты на углы \arg z_2 и \arg z_3=\arg z_2 плюс Пи . Так как отрезок BC симметричен относительно нуля, то образы U и V при этих поворотах совпадают.

г) Если z — точка отрезка AC, то z=t плюс дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби , где t принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка , откуда w= левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус t в квадрате плюс t корень из 3 . Следовательно, образ отрезка AC — множество точек w=x плюс y, где x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус t в квадрате и y=t корень из 3 . Значит, x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби y в квадрате , причем y принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка , т. е. искомый образ — дуга параболы x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби y в квадрате между точками с координатами  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка и  левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ответ: а) 1; б) см. рис.; в) см. рис.; г) см. рис.


-------------
Дублирует задание № 2006.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1991 год, вариант 2
? Классификатор: Действия над комплексными числами , Изображение множеств комплексных чисел на плоскости , Уравнения с комплексными числами и их системы
?
Сложность: 11 из 10