Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2030

5. Последовательность \x_n\ задана рекуррентно: x_1=a, x_n плюс 1=x_n в квадрате минус x_n минус 3 при всех n принадлежит \Bbb N.

а) Докажите, что если a — целое, то xn — нечетное число при всех n больше или равно 2.

б) Выясните, при каком значении a последовательность \x_n\ является стационарной.

в) Выясните, при каких значениях a последовательность \x_n\ является геометрической прогрессией.

г) Пусть a=4. Докажите, что последовательность \x_n\ не имеет предела.

Спрятать решение

Решение.

а) Так как x_n плюс 1=x_n(x_n минус 1) минус 3, то если xn — целое, то x_n(x_n минус 1) — четное, значит, x_n плюс 1 — нечетное число.

б) Пусть x_n=a, тогда x_n плюс 1=a в квадрате минус a минус 3 и x_n плюс 1=a, если a=a в квадрате минус a минус 3.

в) Если \x_n\ — геометрическая прогрессия, то x_1x_3=x_2 в квадрате , значит,

(a в квадрате минус a минус 3) в квадрате =a левая круглая скобка (a в квадрате минус a минус 3) в квадрате минус a(a минус 1) правая круглая скобка равносильно a в квадрате (a минус 1)=(a минус 1)(a в квадрате минус a минус 3) в квадрате равносильно

 равносильно совокупность выражений a=1,\pm a=a в квадрате минус a минус 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений a=1,a= минус 1, a=3, a=\pm корень из 3 . конец совокупности .

Однако равенство x_1x_3=x_2 в квадрате  — лишь необходимое условие, и, проверяя, видим, что x_4=69 при a=1, т. е. в таком случае \x_n\ не есть геометрическая прогрессия.

г) Докажем по индукции, что x_n больше или равно 4 и x_n плюс 1 минус x_n больше или равно 3, откуда и будет следовать, что конечного предела у последовательности \x_n\ нет. Действительно, если x_n больше или равно 4, то

x_n плюс 1 минус x_n=x_n в квадрате минус 2x_n минус 3=(x_n минус 3)(x_n минус 1) больше или равно 3.

Ответ: б) −1; 3 в)  минус 1; 3; \pm корень из 3 .

 

----------

Дублирует задание 2008.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1991 год, вариант 2
? Классификатор: Прогрессии
?
Сложность: 11 из 10