Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

5.  По­сле­до­ва­тель­ность левая фи­гур­ная скоб­ка x_n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка за­да­на ре­кур­рент­но: x_1 = a, x_n плюс 1 = x_n в квад­ра­те минус x_n минус 3 при всех n при­над­ле­жит N .

а)  До­ка­жи­те, что если a  — целое, то xn  — не­чет­ное число при всех n боль­ше или равно 2.

б)  Вы­яс­ни­те, при каком зна­че­нии a по­сле­до­ва­тель­ность левая фи­гур­ная скоб­ка x_n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка яв­ля­ет­ся ста­ци­о­нар­ной.

в)  Вы­яс­ни­те, при каких зна­че­ни­ях a по­сле­до­ва­тель­ность левая фи­гур­ная скоб­ка x_n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка яв­ля­ет­ся гео­мет­ри­че­ской про­грес­си­ей.

г)  Пусть a = 4. До­ка­жи­те, что по­сле­до­ва­тель­ность левая фи­гур­ная скоб­ка x_n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка не имеет пре­де­ла.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Так как x_n плюс 1 = x_n левая круг­лая скоб­ка x_n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3, то если xn  — целое, то x_n левая круг­лая скоб­ка x_n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка   — чет­ное, зна­чит, x_n плюс 1  — не­чет­ное число.

б)  Пусть x_n = a, тогда x_n плюс 1 = a в квад­ра­те минус a минус 3 и x_n плюс 1 = a, если a = a в квад­ра­те минус a минус 3.

в)  Если левая фи­гур­ная скоб­ка x_n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка   — гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, то x_1 x_3 = x_2 в квад­ра­те , зна­чит,

левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = a левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус a левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но a в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a = 1, a = a в квад­ра­те минус a минус 3, минус a = a в квад­ра­те минус a минус 3 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a = 1, a = минус 1, a = 3, a = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , a = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти .

Од­на­ко ра­вен­ство x_1 x_3 = x_2 в квад­ра­те   — лишь не­об­хо­ди­мое усло­вие, и, про­ве­ряя, видим, что x_4 = 69 при a = 1, то есть в таком слу­чае левая фи­гур­ная скоб­ка x_n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка не есть гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия.

г)  До­ка­жем по ин­дук­ции, что x_n боль­ше или равно 4 и x_n плюс 1 минус x_n боль­ше или равно 3, от­ку­да и будет сле­до­вать, что ко­неч­но­го пре­де­ла у по­сле­до­ва­тель­но­сти левая фи­гур­ная скоб­ка x_n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка нет. Дей­стви­тель­но, если x_n боль­ше или равно 4, то

x_n плюс 1 минус x_n = x_n в квад­ра­те минус 2x_n минус 3 = левая круг­лая скоб­ка x_n минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x_n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 3.

Ответ: б)  –1; 3 в) –1; 3; минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 2008.


-------------
Дублирует задание № 2008.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

? Источники:
? Классификатор: Про­грес­сии
?
Сложность: 11 из 10
Источник: сайт Решу урок  —  выпускные экзамены по математике, задание № 2008.
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025