Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2029

4. Дана функция f(x)= корень из x . Точки пересечения прямой x=m с графиком функции f и осью абсцисс обозначаются соответственно A(m) и B(m), касательная к графику в точке A(m) обозначается l(m).

а) Докажите, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямой x=m, равна  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби mf(m).

б) Пусть C — точка пересечения прямой l(m) с осью абсцисс. Найдите отношение площадей криволинейного треугольника AOC и прямолинейного ABC.

в) Пусть M и N — точки графика функции f, такие, что прямая MN параллельна l(4). Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямой MN, осью абсцисс и перпендикулярами к ней из точек M и N, не превосходит 32.

г) Пусть y=g(x) — непрерывная неотрицательная функция, определенная на [0; плюс принадлежит fty), такая, что g(4)=2 и при любом m больше или равно 0 площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, осями координат и прямой x=m, равна  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби mg(m). Докажите, что g(x)= корень из x .

Спрятать решение

Решение.

а) Искомая площадь (см. рис) равна  принадлежит t_0 в степени m корень из x dx= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби m корень из m = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби mf(m).

б) Так как  тангенс \measuredangle ACB=f'(m)= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 корень из m , то BC=AB дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 корень из m =2m и S_ABC=m корень из m , а площадь s криволинейного треугольника AOC равна

s=m корень из m минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби m корень из m = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби m корень из m .

 

в)  Пусть a и b — абсциссы точек M и N, тогда  дробь: числитель: корень из b минус корень из a , знаменатель: b минус a конец дроби =f'(4)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . Площадь фигуры (трапеции) равна

 дробь: числитель: b минус a, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка корень из b плюс корень из a правая круглая скобка = дробь: числитель: 4 левая круглая скобка корень из b минус корень из a правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка корень из b плюс корень из a правая круглая скобка =2(b минус a).

Из геометрических соображений ясно, что разность b минус a наибольшая при a=0, откуда b=16 и s меньше или равно 32. (Иначе:

2(b минус a)=2 левая круглая скобка (4 минус корень из a ) в квадрате минус a правая круглая скобка =2(16 минус 8 корень из a ) меньше или равно 32).

г) Поскольку g(m)= дробь: числитель: 3, знаменатель: конец дроби 2m принадлежит t_0 в степени m g(m)dx, то g дифференцируема, поэтому, продифференцировав данное равенство, получим, что g(x)= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби g(x) плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби xg(x), откуда xg'(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби g(x). Таким образом,

 левая круглая скобка \ln g(x) правая круглая скобка '= дробь: числитель: g'(x), знаменатель: g(x) конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби = левая круглая скобка \ln корень из x правая круглая скобка ',

\ln g(x) минус \ln корень из x =\ln дробь: числитель: g(x), знаменатель: корень из x конец дроби = \ln c=const ,

или g(x)=c корень из x . По условию g(4)=2, значит, c=1 и g(x)= корень из x .

 

 

Ответ: б)  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

 

----------

Дублирует задание 2007.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1991 год, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Исследование функций
?
Сложность: 11 из 10