PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Дробь принимает нулевое значение, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Приравняв к нулю числитель данной дроби, получим квадратное уравнение 
которое имеет два корня: 
и 
Значит, корнями исходного уравнения могут быть только числа 3 и 
Проверим, не обращают ли эти числа в ноль знаменатель дроби. При 
знаменатель 
равен 
Тогда число 3 — не корень исходного уравнения. При 
имеем 
т. е. знаменатель не равен нулю. Значит, число 
корень исходного уравнения.
Ответ: 
Комментарий. Надо обратить внимание учащихся на то, что нет необходимости решать уравнение, которое появляется, когда приравнивается к нулю знаменатель алгебраической дроби. Это не нужно, так как служит только корректировке результата, а кроме того, нерационально, да и не всегда возможно. Гораздо лучше простой подстановкой в знаменатель проверить корни числителя.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Его можно переписать иначе: 
Логарифмическая функция с основанием, меньшим 1, является монотонно убывающей, следовательно, от последнего неравенства можно перейти к равносильному неравенству 
При тех значениях х, которые удовлетворяют последнему неравенству, справедливо и другое неравенство 
которое задает область определения функции 
Таким образом, решение сводится к неравенству 
или 
Решив его, получим 
или 
в точке с абсциссой 
а также напишите уравнение одной из прямых, параллельных этой касательной.
причем в данном случае 
тогда 
и 
Подставив эти значения в уравнение касательной, получим 
т. е. 
прямая ей параллельная 
имеет смысл и не обращается в нуль.
Определим все значения x из 
для которых, найдется такое целое число k, что выполняется: 
Для 
таких значений x нет. Для 
получаем 
Оба этих значения принадлежат отрезку 
Для 
имеем 
Число 
принадлежит промежутку 
—
выполняется условие 
при котором ни одно значение x не оказывается на отрезке 
за исключением точек 
и 
Выясним, при каких значениях x данное выражение обращается в нуль. Это происходит тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл: 
при 
и 
Тогда 
если 
где 
т. е. если 
При 
таких значений х нет. При 
и 
При 
получаем два значения х: 
и 
Оба эти числа попадают на отрезок 
получаем два значения x: 
принадлежит отрезку 
— не принадлежит этому отрезку. При 
решения уравнения 
не принадлежат отрезку 
выражение не обращается в нуль.
и 
Отрезок наибольшей длины, заключенный внутри этой фигуры и принадлежащий прямой 
делит фигуру на две части. Докажите, что площади этих частей равны.
длина отрезка дается формулой 
Рассмотрим квадратичную функцию 
Ее наибольшее значение достигается при 
Итак, при 
отрезок имеет наибольшую длину. 
и параболы 
Решая уравнение 
или 
находим: 0 и 4. Выразим площади частей, на которые отрезок делит фигуру: 
что и требовалось доказать.
не имеет корней?
не является корнем уравнения. Домножив обе части уравнения на x, получим квадратное уравнение 
которое не имеет корней, когда его дискриминант 
отрицателен. Таким образом, задача сводится к неравенству 
которое выполняется при 
Найдем ее производную 
и определим знаки производной в промежутках знакопостоянства (см. рис.). В точке 
исследуемая функция достигает максимального значения, а в точке 
—
и 
В то же время ясно, что при 
и 
а при 
и 
Значит, множество значений функции представляет собой объединение промежутков 
Для данного случая такое решение более громоздко и требует тонких пояснений, по которым можно было бы судить, что человек представляет себе очень хорошо расположение графика функции. Однако за приведенное решение (даже при отсутствии более подробных пояснений) оценка снижена быть не может. В идейном плане второе решение богаче, так как в нем предложен общий метод ответа на вопросы, аналогичные заданию 6.