PDF-версии: 
Найдите пару комплексных чисел 
для которых одновременно выполняются соотношения 
и 
Решение. Рассмотрим систему уравнений
в которой уравнение (2) получено из второго исходного уравнения с помощью операции сопряжения (см. решение аналогичной задачи варианта I). Решим эту систему уравнений. Умножим обе части уравнения (1) на i, а обе части уравнения (2) — на 2, и сложим получившиеся уравнения:
Умножим теперь уравнение (2) на − 3 и сложим получившееся уравнение с уравнением (1):
Отсюда 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и 
и 
то при всех 
выполняется 
на монотонность.
при этом получим многочлен 
Один из корней этого многочлена очевиден и равен −1. Используя схему Горнера
и далее 
Отсюда
то 
при 
Поэтому функция g(x) монотонно убывает всюду на области своего определения.
Так как 
причем, знак равенства имеет место только при x ± 2, то
при этом максимальное и минимальное значения 
принимаются соответственно при 
Следовательно, 
определен только на 
а 
при 
через функцию от 
получаем
получаем неравенство 
решая которое методом интервалов (см. рис.), получаем 
т. е.
в единственной точке x = 2, неравенства (5), (6) выполняются на множестве [0; 2) ∪ (2; ∞).
Так как 
то 
откуда
то уравнение (1) является квадратным при 
Его дискриминант
где 
так как 
откуда
при 
неравенство (2) является квадратным, его дискриминант
и выполняется при всех 
Если 
неравенство (2) выполняется при всех x. Если 
неравенство (2) не имеет решений.
откуда 
то 
если 
— это выражение отрицательно при целых k; при 
неравенство (2) не имеет решений, при 
неравенство (2) выполняется при всех x.
имеет решения только при k = 0. Эти решения будут 
на отрезке 
достигается в двух различных точках?
т. е.
обращается в нуль в точках 0 и 
Если 
то это две различные точки, являющиеся точками экстремума функции (1). (Здесь удобно то, что одна из точек экстремума x = 0 не зависит от a и находится внутри рассматриваемого отрезка.)
лежит левее рассматриваемого отрезка, т. е. 
или 
Эскиз графика функции приведен на рисунке 1. Из графика видно, что наибольшее значение функции достигается в одном из концов данного отрезка, поэтому для выполнения условия задачи должно быть
Поскольку 
полученное значение параметра a — одно из искомых.
т. е.
Тогда
приведен на рисунке 3. (Интересно отметить, что 
а 
) Далее
монотонно убывает при 
и 
и 
это означает, что функция 
не имеет корней. Таким образом, уравнение (3) не имеет корней при рассматриваемых значениях a, и равенство (2) невозможно при 
Следовательно, рассматриваемый случай невозможен.
т. е. a = 0. В этом случае g(x) монотонно возрастает на ℝ и условие задачи тоже не выполняется.
Эскиз графика функции g(x) приведен на рисунке 4. Очевидно, что одинаковые значения могут приниматься функцией только в точках x = 0 и x = 2, т. е. необходимо, чтобы 
то полученное значение параметра — одно из искомых.
Эскиз графика функции g(x) приведен на рисунке 5. Видно, что в этом случае функция принимает наибольшее значение на рассматриваемом отрезке 
только в точке x = 0.
и 
(смотри рисунок 6).
или же для функции 
нетрудно получить
достигаются на концах данного отрезка. Эскиз графика функции h(x) приведен на рисунке 6. Здесь
является корнем квадратного трехчлена в разложении (2): 
откуда
является корнем квадратного трехчлена в разложении (2). По теореме Виета 
или 
(вместо a мы подставили значение (4)), и 
т. е. 
откуда следует, что рассматриваемый случай действительно реализуется (см. рис. 6).
отрезка. Многочлен (1) имеет только два действительных корня 
При 
получим 
При этом 
причем 
(т. е. кратный корень многочлена (1) лежит левее однократного корня). Поэтому 
—
и значение параметра 
подходит. Эскиз графика функции h(x) приведен на рисунке 7. 
но 
(так как 
и это значение параметра не подходит. 
то
подставим x1 в (2): 
или 
Если 0 и 2 корни, то 
и 
Но и ее наличие не мешает решить задачу. Следует заметить, однако, что задание № 6 первого варианта оказалось несколько труднее, чем во втором. Но если выпускник получит за этот вариант 4 или 5, то он действительно продемонстрирует любовь к математике и увлеченность ею, и смело может сдавать вступительный экзамен в любой вуз).