I способ. Очевидно, указанное в задаче свойство будет выполняться и для любой другой функции, отличающейся от данной на константу. В частности, задача равносильна для функции т. е.

Производная этой функции обращается в нуль в точках 0 и Если то это две различные точки, являющиеся точками экстремума функции (1). (Здесь удобно то, что одна из точек экстремума x = 0 не зависит от a и находится внутри рассматриваемого отрезка.)

Наше исследование естественным образом распадается на следующие пять различных случаев.

1) Точка лежит левее рассматриваемого отрезка, т. е. или Эскиз графика функции приведен на рисунке 1. Из графика видно, что наибольшее значение функции достигается в одном из концов данного отрезка, поэтому для выполнения условия задачи должно быть

откуда Поскольку полученное значение параметра a — одно из искомых.

2) Точка лежит на полуинтервале т. е.

Эскиз графика функции приведен на рисунке 2. Поскольку два наибольших значения могут быть только в точках и 2, необходимо, чтобы

или

Обозначим Тогда

Отсюда видно, что точки экстремумов функции

Далее

График функции приведен на рисунке 3. (Интересно отметить, что а ) Далее

Т. е., поскольку монотонно убывает при и монотонно возрастает при и это означает, что функция на полуинтервале не имеет корней. Таким образом, уравнение (3) не имеет корней при рассматриваемых значениях a, и равенство (2) невозможно при Следовательно, рассматриваемый случай невозможен.

3) Случай т. е. a = 0. В этом случае g(x) монотонно возрастает на ℝ и условие задачи тоже не выполняется.

4) Точка лежит на полуинтервале (0; 2], т. е. Эскиз графика функции g(x) приведен на рисунке 4. Очевидно, что одинаковые значения могут приниматься функцией только в точках x = 0 и x = 2, т. е. необходимо, чтобы

Так как то полученное значение параметра — одно из искомых.

5) Точка лежит правее рассматриваемого отрезка, т. е. Эскиз графика функции g(x) приведен на рисунке 5. Видно, что в этом случае функция принимает наибольшее значение на рассматриваемом отрезке только в точке x = 0.

Ответ:

Только что рассмотренный I способ является громоздким, но он вполне имеет право на существование. Отмети, что его очевидным достоинством является то, что у решающего не остается сомнений в полном учете всех возможных случаев.

II способ. Приведем решение задачи с помощью метода, использовавшегося при решении аналогичной задачи варианта I (при этом производная явно не используется). Решение запишем в более кратком виде.

Существует только два типа функций f(x) — многочлена третьей степени с положительным старшим коэффициентом:

1) монотонно возрастающая функция;

2) функция, имеющая только одну точку x₁ локального максимума и только одну точку x₂ локального минимума. При этом и (смотри рисунок 6).

Условие задачи может выполняться только для второго типа функций, причем только в двух случаях: либо оба наибольших значения достигаются на концах отрезка (см. ниже пункт «а»), либо наибольшее значение достигается в точке x₁ локального максимума и на правом конце отрезка, при x = 2 (см. ниже пункт «б»).

Аналогично тому, как выше (I способ), достаточно решить задачу для функции или же для функции

Поскольку нетрудно получить

а) Рассмотрим случай, когда оба наибольших значения функции h(x) на отрезке достигаются на концах данного отрезка. Эскиз графика функции h(x) приведен на рисунке 6. Здесь

т. е. является корнем квадратного трехчлена в разложении (2): откуда

Третий корень x₀ многочлена (1), наряду с является корнем квадратного трехчлена в разложении (2). По теореме Виета или (вместо a мы подставили значение (4)), и т. е. откуда следует, что рассматриваемый случай действительно реализуется (см. рис. 6).

б) Рассмотрим другой случай, когда наибольшее значение функции (1) на рассматриваемом отрезке достигается в точке локального максимума x₁ и на конце отрезка. Многочлен (1) имеет только два действительных корня (x₁ и 2), следовательно, квадратный трехчлен в разложении (2) имеет единственный корень

Условие единственности решения — равенство нулю дискриминанта. Тогда

Соответствующий (единственный) корень уравнения (5) есть При получим При этом причем (т. е. кратный корень многочлена (1) лежит левее однократного корня). Поэтому  — точка локального максимума функции h(x), т. е. и значение параметра подходит. Эскиз графика функции h(x) приведен на рисунке 7. При но находится вне рассматриваемого отрезка, поскольку (так как и это значение параметра не подходит.

Приведем еще один способ решения задачи, где не используется производная.

III способ. Пусть наибольшее значение f(x) на равно «b». Рассмотрим многочлен

Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы многочлен (1) имел на ровно два различных корня, а в остальных точках этого отрезка принимал отрицательные значения («основное» условие).

1) Если данный многочлен имеет один действительный корень, то выполнение основного условия невозможно.

2) Если он имеет три различных корня x₁, x₂, x₃, то в силу положительности старшего коэффициента знаки значений многочлена таковы, как показано на рисунке.

Так как по теореме Виета то

По теореме Виета

Решая систему уравнений (2), (3), получаем

т. е. подставим x₁ в (2):

3) Если многочлен (1) имеет два корня x₁ и x₂, то один из них является кратным, и в зависимости от того, какой из них кратен, рассмотрим два случая.

а) Двукратный корень находится справа (см. рис.), и основное условие не выполняется.

б) Двукратный корень находится слева (см. рис), и основное условие выполняется, если

По теореме Виета

отсюда или Если 0 и 2 корни, то и т. е.

Примечание. Данная работа, естественно, рассчитана на математические классы, в которых школьники обучаются в течение четырех лет при нагрузке 8+8+9+9 часов в неделю. В приведенных решениях затрагиваются практически все темы курса, а примеры решаются как традиционными, так и нестандартными («хитрыми») способами.

В примере № 2 можно как «потерять» корни, так и «найти» лишние корни. Для решения задания № 3 удобнее не делать чертеж. Пример № 5 быстрее сделает тот, кто «помнит» неравенство

Особо нужно сказать о задании № 6. конечно, было бы лучше, если бы в первом варианте (как и во втором) отсутствовала первая степень переменной x, т. е. Но и ее наличие не мешает решить задачу. Следует заметить, однако, что задание № 6 первого варианта оказалось несколько труднее, чем во втором. Но если выпускник получит за этот вариант 4 или 5, то он действительно продемонстрирует любовь к математике и увлеченность ею, и смело может сдавать вступительный экзамен в любой вуз).