Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2667

При каких значениях параметра a наибольшее значение функции f(x)=x в кубе плюс 5ax в квадрате плюс 2a на отрезке [ минус 2 корень из (3) ;2] достигается в двух различных точках?

Спрятать решение

Решение.

I способ. Очевидно, указанное в задаче свойство будет выполняться и для любой другой функции, отличающейся от данной на константу. В частности, задача равносильна для функции g(x) = f(x) минус 2a, т. е.

g(x) = x в кубе плюс 5ax в квадрате , \qquad (1)

Производная этой функции g'(x) = 3x в квадрате плюс 10ax обращается в нуль в точках 0 и  минус дробь: числитель: 10a, знаменатель: 3 конец дроби . Если a не равно 0, то это две различные точки, являющиеся точками экстремума функции (1). (Здесь удобно то, что одна из точек экстремума x = 0 не зависит от a и находится внутри рассматриваемого отрезка.)

Наше исследование естественным образом распадается на следующие пять различных случаев.

1) Точка  минус дробь: числитель: 10a, знаменатель: 3 конец дроби лежит левее рассматриваемого отрезка, т. е.  минус дробь: числитель: 10a, знаменатель: 3 конец дроби меньше минус 2 корень из 3 , или a больше дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 5 конец дроби . Эскиз графика функции приведен на рисунке 1. Из графика видно, что наибольшее значение функции достигается в одном из концов данного отрезка, поэтому для выполнения условия задачи должно быть

g( минус 2 корень из 3 ) = g(2) равносильно 12( минус 2 корень из 3 плюс 5a) = 4(2 плюс 5a),

откуда a = дробь: числитель: 1 плюс 3 корень из 3 , знаменатель: 5 конец дроби . Поскольку  дробь: числитель: 1 плюс 3 корень из 3 , знаменатель: 5 конец дроби больше дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 5 конец дроби , полученное значение параметра a — одно из искомых.

2) Точка  минус дробь: числитель: 10a, знаменатель: 3 конец дроби лежит на полуинтервале [ минус 2 корень из 3 ; 0) т. е.

 минус 2 корень из 3 меньше или равно минус дробь: числитель: 10a, знаменатель: 3 конец дроби меньше 0 равносильно 0 меньше a меньше или равно дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 5 конец дроби .

Эскиз графика функции приведен на рисунке 2. Поскольку два наибольших значения могут быть только в точках  минус дробь: числитель: 10a, знаменатель: 3 конец дроби и 2, необходимо, чтобы

g левая круглая скобка минус дробь: числитель: 10a, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = g(2), \qquad (2)

или

 дробь: числитель: 100a в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка минус дробь: числитель: 10a, знаменатель: 3 конец дроби плюс 5a правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: 125, знаменатель: 27 конец дроби a в квадрате ( минус 2a плюс 3a) = 2 плюс 5a равносильно дробь: числитель: 125, знаменатель: 27 конец дроби a в кубе = 2 плюс 5a равносильно

 равносильно 125a в кубе минус 135a минус 54 = 0. \qquad (3)

Обозначим \varphi (a) = 125a в кубе минус 135a минус 54. Тогда

\varphi ' (a) = 375a в квадрате минус 135 = 15(25a в квадрате минус 9).

Отсюда видно, что точки экстремумов функции a = \pm дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .

Далее

\varphi (0) = минус 54 меньше 0,

\varphi левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка = 125 умножить на дробь: числитель: 27, знаменатель: 125 конец дроби минус 135 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби минус 54 = 27 минус 81 минус 54 = минус 108 меньше 0,

\varphi левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка = минус 27 плюс 81 минус 54 = 0.

График функции b = дробь: числитель: 1, знаменатель: 54 конец дроби \varphi (a) приведен на рисунке 3. (Интересно отметить, что \varphi (1,2) = 0, а \varphi ( минус 1,2) = минус 108.) Далее

\varphi левая круглая скобка дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка = минус 54 меньше 0. \qquad (4)

Т. е., поскольку \varphi (a) монотонно убывает при a принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка , \varphi (0) меньше 0, и \varphi (a) монотонно возрастает при a больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби и \varphi левая круглая скобка дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка меньше 0, это означает, что функция \varphi (a) на полуинтервале 0 меньше a меньше или равно дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 5 конец дроби не имеет корней. Таким образом, уравнение (3) не имеет корней при рассматриваемых значениях a, и равенство (2) невозможно при a принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка . Следовательно, рассматриваемый случай невозможен.

3) Случай  минус дробь: числитель: 10a, знаменатель: 3 конец дроби = 0, т. е. a = 0. В этом случае g(x) монотонно возрастает на ℝ и условие задачи тоже не выполняется.

4) Точка  минус дробь: числитель: 10a, знаменатель: 3 конец дроби лежит на полуинтервале (0; 2], т. е.  минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно a меньше 0. Эскиз графика функции g(x) приведен на рисунке 4. Очевидно, что одинаковые значения могут приниматься функцией только в точках x = 0 и x = 2, т. е. необходимо, чтобы

g(2) = 0 равносильно 4(2 плюс 5a) = 0 равносильно a = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби .

Так как  минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше 0, то полученное значение параметра — одно из искомых.

5) Точка  минус дробь: числитель: 10a, знаменатель: 3 конец дроби лежит правее рассматриваемого отрезка, т. е.  минус дробь: числитель: 10a, знаменатель: 3 конец дроби больше 2 равносильно a меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби . Эскиз графика функции g(x) приведен на рисунке 5. Видно, что в этом случае функция принимает наибольшее значение на рассматриваемом отрезке [ минус 2 корень из 3 ; 2] только в точке x = 0.

 

Ответ: a= дробь: числитель: 1 плюс 3 корень из (3) , знаменатель: 5 конец дроби , a= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби .

 

Только что рассмотренный I способ является громоздким, но он вполне имеет право на существование. Отмети, что его очевидным достоинством является то, что у решающего не остается сомнений в полном учете всех возможных случаев.

 

II способ. Приведем решение задачи с помощью метода, использовавшегося при решении аналогичной задачи варианта I (при этом производная явно не используется). Решение запишем в более кратком виде.

Существует только два типа функций f(x) — многочлена третьей степени с положительным старшим коэффициентом:

1) монотонно возрастающая функция;

2) функция, имеющая только одну точку x1 локального максимума и только одну точку x2 локального минимума. При этом x_1 меньше x_2 и f(x_1) больше f(x_2) (смотри рисунок 6).

Условие задачи может выполняться только для второго типа функций, причем только в двух случаях: либо оба наибольших значения достигаются на концах отрезка (см. ниже пункт «а»), либо наибольшее значение достигается в точке x1 локального максимума и на правом конце отрезка, при x = 2 (см. ниже пункт «б»).

Аналогично тому, как выше (I способ), достаточно решить задачу для функции g(x)=x в кубе плюс 5ax в квадрате , или же для функции h(x)=g(x) минус g(2),

h(x) минус x в кубе плюс 5ax в квадрате минус 8 минус 20a. \qquad (1)

Поскольку h(2)=0, нетрудно получить

h(x)=(x минус 2)(x в квадрате плюс (2 плюс 5a)x плюс 4 плюс 10a). \qquad (2)

а) Рассмотрим случай, когда оба наибольших значения функции h(x) на отрезке [ минус 2 корень из 3 ; 2] достигаются на концах данного отрезка. Эскиз графика функции h(x) приведен на рисунке 6. Здесь

h( минус 2 корень из 3 )=g(2)=0, \qquad (3)

т. е. x= минус 2 корень из 3 является корнем квадратного трехчлена в разложении (2): 12 минус 4 корень из 3 минус 10 корень из (3) a плюс 4 плюс 10a=0, откуда

a= дробь: числитель: 1 плюс 3 корень из 3 , знаменатель: 5 конец дроби . \qquad (4)

Третий корень x0 многочлена (1), наряду с x= минус 2 корень из 3 , является корнем квадратного трехчлена в разложении (2). По теореме Виета x_0 минус 2 корень из 3 = минус 2 минус 5a или x_0=2 корень из 3 минус 2 минус 5a=2 корень из 3 минус 2 минус 1 минус 3 корень из 3 = минус 3 минус корень из 3 (вместо a мы подставили значение (4)), и x_0 плюс 2 корень из 3 = минус 3 плюс корень из 3 меньше 0, т. е. x_0 меньше минус 2 корень из 3 , откуда следует, что рассматриваемый случай действительно реализуется (см. рис. 6).

б) Рассмотрим другой случай, когда наибольшее значение функции (1) на рассматриваемом отрезке достигается в точке локального максимума x1 и на конце x=2 отрезка. Многочлен (1) имеет только два действительных корня (x1 и 2), следовательно, квадратный трехчлен в разложении (2) имеет единственный корень x=x_1:

x в квадрате плюс (2 плюс 5a)x плюс 4 плюс 10a=0. \qquad (5)

Условие единственности решения — равенство нулю дискриминанта. Тогда

(2 плюс 5a) в квадрате минус 4(4 плюс 10a)=0 равносильно (2 плюс 5a)(5a минус 6)=0 равносильно совокупность выражений a_1= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ,a_2= дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби . конец совокупности .

Соответствующий (единственный) корень уравнения (5) есть x_1'= минус 1 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби a. При a= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби , x_1'=0, получим x_1' принадлежит ( минус 2 корень из 3 ; 2). При этом h(x_1')=h(2)=0, причем x_1' меньше 2 (т. е. кратный корень многочлена (1) лежит левее однократного корня). Поэтому x_1' — точка локального максимума функции h(x), т. е. x_1=x_1'=0, и значение параметра a= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби подходит. Эскиз графика функции h(x) приведен на рисунке 7. При a= дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби , x_1'= минус 4, но x_1' находится вне рассматриваемого отрезка, поскольку  минус 4 меньше минус 2 корень из 3 (так как 2 больше корень из 3 ), и это значение параметра не подходит.

Приведем еще один способ решения задачи, где не используется производная.

 

III способ. Пусть наибольшее значение f(x) на [ минус 2 корень из 3 ; 2] равно «b». Рассмотрим многочлен

h(x)=x в кубе плюс 5ax в квадрате плюс 2a минус b. \qquad (1)

Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы многочлен (1) имел на [ минус 2 корень из 3 ; 2] ровно два различных корня, а в остальных точках этого отрезка принимал отрицательные значения («основное» условие).

1) Если данный многочлен имеет один действительный корень, то выполнение основного условия невозможно.

2) Если он имеет три различных корня x1, x2, x3, то в силу положительности старшего коэффициента знаки значений многочлена таковы, как показано на рисунке.

Так как по теореме Виета x_1 плюс x_2 плюс x_3= минус 5a, то

 минус 2 корень из 3 плюс 2 плюс x_1= минус 5a. \qquad (2)

По теореме Виета x_1 умножить на x_2 плюс x_1 умножить на x_3 плюс x_2 умножить на x_3=0,

 минус 2 корень из 3 x_1 плюс 2x_1 минус 4 корень из 3 =0. \qquad (3)

Решая систему уравнений (2), (3), получаем

x_1= дробь: числитель: 2 корень из 3 , знаменатель: 1 минус корень из 3 конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из 3 ( корень из 3 плюс 1), знаменатель: минус 2 конец дроби = минус корень из 3 ( корень из 3 плюс 1) равносильно x_1= минус 3 минус корень из 3 ,

т. е. x_1 меньше x_2. подставим x1 в (2):

 минус 2 корень из 3 плюс 2 минус 3 минус корень из 3 = минус 5a равносильно a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби (1 плюс 3 корень из 3 ).

3) Если многочлен (1) имеет два корня x1 и x2, то один из них является кратным, и в зависимости от того, какой из них кратен, рассмотрим два случая.

а) Двукратный корень находится справа (см. рис.), и основное условие не выполняется.

б) Двукратный корень находится слева (см. рис), и основное условие выполняется, если

 система выражений x_2=2, минус 2 корень из 3 меньше или равно x_1 меньше 2. конец системы .

По теореме Виета

x_1 умножить на x_2 плюс x_1 умножить на x_3 плюс x_2 умножить на x_3=0 равносильно 2x_1 плюс x_1 в квадрате плюс 2x_1=0 равносильно совокупность выражений x_1= минус 4,x_1=0, конец совокупности .

отсюда  минус 4 \notin [ минус 2 корень из 3 ; 2] или 0 принадлежит [ минус 2 корень из 3 ; 2]. Если 0 и 2 корни, то h(0)=0 и h(2)=0, т. е.

 система выражений 2a минус b=0,8 плюс 22a минус b=0 конец системы . равносильно a= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби .

 

Примечание. Данная работа, естественно, рассчитана на математические классы, в которых школьники обучаются в течение четырех лет при нагрузке 8+8+9+9 часов в неделю. В приведенных решениях затрагиваются практически все темы курса, а примеры решаются как традиционными, так и нестандартными («хитрыми») способами.

В примере № 2 можно как «потерять» корни, так и «найти» лишние корни. Для решения задания № 3 удобнее не делать чертеж. Пример № 5 быстрее сделает тот, кто «помнит» неравенство  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: x, знаменатель: 1 плюс x в квадрате конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Особо нужно сказать о задании № 6. конечно, было бы лучше, если бы в первом варианте (как и во втором) отсутствовала первая степень переменной x, т. е. g(x)= минус x в кубе плюс 2px в квадрате минус 2,25p. Но и ее наличие не мешает решить задачу. Следует заметить, однако, что задание № 6 первого варианта оказалось несколько труднее, чем во втором. Но если выпускник получит за этот вариант 4 или 5, то он действительно продемонстрирует любовь к математике и увлеченность ею, и смело может сдавать вступительный экзамен в любой вуз).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2661

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1995 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Применение производной к решению задач, Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 10 из 10