Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2662

Найдите пару комплексных чисел (z;w), для которых одновременно выполняются соотношения 3\barz минус 2\barw=1 и \barz минус iw= минус 6i.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим систему уравнений

 система выражений 3z минус 2\bar w = 1, \qquad (1)z плюс i \bar w = 6i, \qquad (2) конец системы .

в которой уравнение (2) получено из второго исходного уравнения с помощью операции сопряжения (см. решение аналогичной задачи варианта I). Решим эту систему уравнений. Умножим обе части уравнения (1) на i, а обе части уравнения (2) — на 2, и сложим получившиеся уравнения:

 система выражений 3 iz минус 2i\bar w = i,2z плюс 2i \bar w = 12i конец системы . равносильно (2 плюс 3i)z = 13i равносильно z= дробь: числитель: 13i, знаменатель: 2 плюс 3i конец дроби = дробь: числитель: 13i(2 минус 3i), знаменатель: 13 конец дроби = 3 плюс 2i.

Умножим теперь уравнение (2) на − 3 и сложим получившееся уравнение с уравнением (1):

 система выражений 3z минус 2 \bar w = 1, минус 3z минус 3i \bar w = минус 18i конец системы . равносильно минус (2 плюс 3i)\bar w = 1 минус 18 равносильно \bar w = минус дробь: числитель: 1 минус 18i, знаменатель: 2 плюс 3i конец дроби = минус дробь: числитель: (1 минус 18i)(2 минус 3i), знаменатель: 13 конец дроби = 4 плюс 3i.

Отсюда w = \overline4 плюс 3i = 4 минус 3i.

 

Ответ: z=3 плюс 2i, w=4 минус 3i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2656

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1995 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Уравнения с комплексными числами и их системы
?
Сложность: 5 из 10