Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2665

Исследуйте функцию g(x)=9x минус 12\ln x минус 2x корень из (x) на монотонность.

Спрятать решение

Решение.

Данная функция определена при x больше 0.

g'(x) = 9 минус дробь: числитель: 12, знаменатель: x конец дроби минус 3 корень из x равносильно g'(x) = дробь: числитель: минус 3(x корень из x минус 3x плюс 4), знаменатель: x конец дроби .

Разложим числитель на множители. Положим t = корень из x , при этом получим многочлен f(t) = t в кубе минус 3t в квадрате плюс 4. Один из корней этого многочлена очевиден и равен −1. Используя схему Горнера

 

1−304
−11−440

 

получаем f(t) = (t плюс 1)(t в квадрате минус 4t плюс 4), и далее f(t) = (t плюс 1)(t минус 2) в квадрате . Отсюда

g'(x) = минус дробь: числитель: 3( корень из x плюс 1)( корень из x минус 2) в квадрате , знаменатель: x конец дроби .

Поскольку  корень из x больше или равно 0, то g'(x) меньше 0 при x принадлежит (0; 4) \cup (4; плюс принадлежит fty). Поэтому функция g(x) монотонно убывает всюду на области своего определения.

 

Ответ: функция монотонно убывает на области своего определения (0; плюс принадлежит fty ).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2659

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1995 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Исследование функций
?
Сложность: 8 из 10