Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2663

Решите систему уравнений  система выражений \log _ дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 3(x в квадрате y в степени (6) ) плюс 1=\log _4y в квадрате , \log _4 дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби \log _2y в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Отметим, что необходимо, чтобы

 дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби больше 0, \qquad (1)

откуда следует, что x и y имеют одинаковые знаки. Преобразуем второе исходное уравнение

4 логарифм по основанию 4 дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби плюс логарифм по основанию 2 y в квадрате = 2 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: y в квадрате конец дроби умножить на y в квадрате правая круглая скобка = 2 равносильно логарифм по основанию 2 x в квадрате = 2 равносильно x в квадрате = 4 равносильно x = \pm 2.

1) Рассмотрим случай

 система выражений x = минус 2,y меньше 0. конец системы .

Подставим значение x в первое уравнение исходной системы

 логарифм по основанию 2 (4y в степени 6 ) плюс 1 = логарифм по основанию 4 y в квадрате равносильно 2 плюс 6 логарифм по основанию 2 |y| плюс 1 = логарифм по основанию 2 |y| равносильно 5 логарифм по основанию 2 |y| = минус 3 равносильно |y| = 2 в степени (\textstyle минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ) = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из [ 5]8 конец дроби равносильно y = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из [ 5]8 конец дроби .

2) Другой случай

 система выражений x = 2,y больше 0. конец системы .

Тогда

 логарифм по основанию 4 (4y в степени 6 ) плюс 1 = логарифм по основанию 4 y в квадрате равносильно 1 плюс 6 логарифм по основанию 4 y плюс 1 = 2 логарифм по основанию 4 y равносильно 4 логарифм по основанию 4 y = минус 2 равносильно y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: \left\ левая круглая скобка минус 2; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из [ 5]8 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка 2; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2657

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1995 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы
?
Сложность: 6 из 10