Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2666

Решите неравенство 1 плюс tg дробь: числитель: 2 Пи x, знаменатель: x в квадрате плюс 4 конец дроби больше или равно косинус дробь: числитель: 4 Пи x, знаменатель: x в квадрате плюс 4 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

I способ. Введем вспомогательную функцию

t = t(x) = дробь: числитель: 2 Пи x, знаменатель: x в квадрате плюс 4 конец дроби . \qquad (1)

Эта функция определена на ℝ и всюду непрерывна, поскольку x в квадрате плюс 4 не равно 0. Так как x в квадрате минус 4|x| плюс 4 = (|x| минус 2) в квадрате больше или равно 0, причем, знак равенства имеет место только при x ± 2, то

x в квадрате плюс 4 больше или равно 4|x|,

 дробь: числитель: |x|, знаменатель: x в квадрате плюс 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,

 дробь: числитель: 2 Пи |x|, знаменатель: x в квадрате плюс 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2,

 минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи x, знаменатель: x в квадрате плюс 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2.

Таким образом, множество значений функции (1) есть отрезок  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2; дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 правая квадратная скобка , при этом максимальное и минимальное значения \pm дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 принимаются соответственно при x = \pm 2. Следовательно,  тангенс t определен только на  левая круглая скобка минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2; дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 правая круглая скобка , а  тангенс дробь: числитель: 2 Пи x, знаменатель: x в квадрате плюс 4 конец дроби при x не равно \pm 2.

Вместо исходного неравенства решаем неравенство

1 плюс тангенс t минус косинус 2t больше или равно 0, t принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2; дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 правая круглая скобка . \qquad (2)

Используем формулу, выражающую  косинус 2t через функцию от  тангенс t:

1 плюс тангенс t минус дробь: числитель: 1 минус тангенс в квадрате t, знаменатель: 1 плюс \th в квадрате t конец дроби больше или равно 0.

Поскольку 1 плюс тангенс в квадрате t больше 0, получаем

1 плюс тангенс t плюс тангенс в квадрате t плюс тангенс в кубе t минус 1 плюс тангенс в квадрате t больше или равно 0 равносильно тангенс в кубе t плюс 2 тангенс в квадрате t тангенс t больше или равно 0 равносильно тангенс t ( тангенс t плюс 1) в квадрате .

 

Введя замену y = тангенс t, получаем неравенство y(y плюс 1) в квадрате \geqslantlsant 0, решая которое методом интервалов (см. рис.), получаем y принадлежит [0; плюс принадлежит fty) \cup минус 1,  тангенс t принадлежит [0; плюс принадлежит fty) \cup \ минус 1\, т. е.

 совокупность выражений тангенс t = минус 1, тангенс t больше или равно 0. конец совокупности .

Отсюда, с учетом интервала, на котором решается неравенство (2), получаем

 совокупность выражений t = минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4, \qquad (3) 0 меньше или равно t меньше минус дробь: числитель: знаменатель: i конец дроби 2. \qquad (4) конец совокупности .

Решим уравнение (3) для исходной переменной:

 дробь: числитель: 2 Пи x, знаменатель: x в квадрате плюс 4 конец дроби = минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4,

x в квадрате плюс 8x плюс 4 =0,

x = минус 4 \pm 2 корень из 3 .

Для двойного неравенства (4) получаем

 система выражений дробь: числитель: 2 Пи x, знаменатель: x в квадрате плюс 4 конец дроби больше или равно 0, \qquad(5) дробь: числитель: 2 Пи x, знаменатель: x в квадрате плюс 4 конец дроби меньше дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2. \qquad (6) конец системы .

Неравенство (5) выполняется только при x = 0. Поскольку, как было сказано выше, функция (1) принимает максимальное значение  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби в единственной точке x = 2, неравенства (5), (6) выполняются на множестве [0; 2) ∪ (2; ∞).

 

Ответ: [0;2)\cup (2; плюс принадлежит fty )\cup \ минус 4;\pm 2 корень из (3) \.

 

Замечание. Неравенство (2) можно решить также с помощью преобразования его левой части к однородной тригонометрической функции третьего порядка (см. замечание 2 в решении аналогичной задачи варианта I).

 

II способ. По-прежнему будем рассматривать функцию (1) (см. I способ).

 дробь: числитель: косинус t плюс синус t, знаменатель: косинус t конец дроби минус ( косинус t плюс синус t)( косинус t минус синус t) больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: ( косинус t плюс синус t)(1 минус косинус в квадрате t плюс синус t косинус t), знаменатель: косинус t конец дроби больше или равно 0 равносильно

 равносильно дробь: числитель: ( косинус t плюс синус t)( косинус t плюс синус t) синус t, знаменатель: косинус t конец дроби больше или равно 0 равносильно ( косинус t плюс синус t) в квадрате тангенс t больше или равно 0 равносильно

 равносильно совокупность выражений тангенс t больше или равно 0, тангенс t = минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений Пи k меньше или равно t меньше дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 плюс Пи k,t = минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4 плюс Пи m, конец совокупности . k, m принадлежит Z .

Рассмотрим уравнение  дробь: числитель: 2 Пи x, знаменатель: x в квадрате плюс 4 конец дроби = минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4 плюс Пи m. Так как x в квадрате плюс 4 больше 0, то 2x = x в квадрате левая круглая скобка m минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус 1 плюс 4m, откуда

x в квадрате левая круглая скобка m минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус 2x плюс 4m минус 1 = 0. \qquad (1)

Так как m минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби не равно 0, то уравнение (1) является квадратным при m принадлежит Z . Его дискриминант

D = 4 минус (4m минус 1) в квадрате = (3 минус 4m)(4m плюс 1),

дискриминант неотрицателен только при m = 0, тогда уравнение (1) принимает вид:

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в квадрате плюс 2x плюс 1 = 0 равносильно x = минус 4 \pm 2 корень из 3 .

Рассмотрим неравенство  Пи k меньше или равно t меньше дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 плюс Пи k, где k принадлежит Z .

a) Решим  дробь: числитель: 2 Пи x, знаменатель: x в квадрате плюс 4 конец дроби меньше дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 плюс Пи k, так как x в квадрате плюс 4 больше 0, то 2x меньше x в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс k правая круглая скобка плюс 2 плюс 4k, откуда

x в квадрате левая круглая скобка k плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 2x плюс 4k плюс 2 больше 0. \qquad (2)

Так как k плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби не равно 0 при k принадлежит Z , неравенство (2) является квадратным, его дискриминант

D = 4 минус (4k плюс 2) в квадрате = минус 16k(k плюс 1).

Если k = 0, неравенство (2) принимает вид x в квадрате минус 4x плюс 4 больше 0 и выполняется при всех x не равно 2. Если k больше 0, неравенство (2) выполняется при всех x. Если k меньше 0, неравенство (2) не имеет решений.

б) Рассмотрим  дробь: числитель: 2 Пи x, знаменатель: x в квадрате плюс 4 конец дроби больше или равно Пи k, откуда kx в квадрате минус 2x плюс 4k меньше или равно 0.

Если k = 0, то x больше или равно 0; если k не равно 0, k принадлежит Z , то  дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби = 1 минус 4k в квадрате  — это выражение отрицательно при целых k; при k больше 0 неравенство (2) не имеет решений, при k меньше 0 неравенство (2) выполняется при всех x.

Таким образом, двойное неравенство

 Пи k меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи x, знаменатель: x в квадрате плюс 4 конец дроби меньше дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 плюс Пи k,

где k принадлежит Z , имеет решения только при k = 0. Эти решения будут  система выражений x больше 0,x не равно 2. конец системы .

 

Ответ: [0;2)\cup (2; плюс принадлежит fty )\cup \ минус 4;\pm 2 корень из (3) \.

 

Такой способ решения, конечно, весьма трудоемкий, но вполне возможный.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2660

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1995 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Тригонометрические неравенства
?
Сложность: 9 из 10