I спо­соб. Вве­дем вспо­мо­га­тель­ную функ­цию

Эта функ­ция опре­де­ле­на на ℝ и всюду не­пре­рыв­на, по­сколь­ку Так как при­чем, знак ра­вен­ства имеет место толь­ко при x ± 2, то

Таким об­ра­зом, мно­же­ство зна­че­ний функ­ции (1) есть от­ре­зок при этом мак­си­маль­ное и ми­ни­маль­ное зна­че­ния при­ни­ма­ют­ся со­от­вет­ствен­но при Сле­до­ва­тель­но, опре­де­лен толь­ко на а при

Вме­сто ис­ход­но­го не­ра­вен­ства ре­ша­ем не­ра­вен­ство

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу, вы­ра­жа­ю­щую через функ­цию от

По­сколь­ку по­лу­ча­ем

Введя за­ме­ну по­лу­ча­ем не­ра­вен­ство решая ко­то­рое ме­то­дом ин­тер­ва­лов (см. рис.), по­лу­ча­ем т. е.

От­сю­да, с уче­том ин­тер­ва­ла, на ко­то­ром ре­ша­ет­ся не­ра­вен­ство (2), по­лу­ча­ем

Решим урав­не­ние (3) для ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Для двой­но­го не­ра­вен­ства (4) по­лу­ча­ем

Не­ра­вен­ство (5) вы­пол­ня­ет­ся толь­ко при x  =  0. По­сколь­ку, как было ска­за­но выше, функ­ция (1) при­ни­ма­ет мак­си­маль­ное зна­че­ние в един­ствен­ной точке x  =  2, не­ра­вен­ства (5), (6) вы­пол­ня­ют­ся на мно­же­стве [0; 2) ∪ (2; ∞).

Ответ:

За­ме­ча­ние. Не­ра­вен­ство (2) можно ре­шить также с по­мо­щью пре­об­ра­зо­ва­ния его левой части к од­но­род­ной три­го­но­мет­ри­че­ской функ­ции тре­тье­го по­ряд­ка (см. за­ме­ча­ние 2 в ре­ше­нии ана­ло­гич­ной за­да­чи ва­ри­ан­та I).

II спо­соб. По-преж­не­му будем рас­смат­ри­вать функ­цию (1) (см. I спо­соб).

Рас­смот­рим урав­не­ние Так как то от­ку­да

Так как то урав­не­ние (1) яв­ля­ет­ся квад­рат­ным при Его дис­кри­ми­нант

дис­кри­ми­нант не­от­ри­ца­те­лен толь­ко при m  =  0, тогда урав­не­ние (1) при­ни­ма­ет вид:

Рас­смот­рим не­ра­вен­ство где

a)  Решим так как то от­ку­да

Так как при не­ра­вен­ство (2) яв­ля­ет­ся квад­рат­ным, его дис­кри­ми­нант

Если k  =  0, не­ра­вен­ство (2) при­ни­ма­ет вид и вы­пол­ня­ет­ся при всех Если не­ра­вен­ство (2) вы­пол­ня­ет­ся при всех x. Если не­ра­вен­ство (2) не имеет ре­ше­ний.

б)  Рас­смот­рим от­ку­да

Если то если то   — это вы­ра­же­ние от­ри­ца­тель­но при целых k; при не­ра­вен­ство (2) не имеет ре­ше­ний, при не­ра­вен­ство (2) вы­пол­ня­ет­ся при всех x.

Таким об­ра­зом, двой­ное не­ра­вен­ство

где имеет ре­ше­ния толь­ко при k  =  0. Эти ре­ше­ния будут

Ответ:

Такой спо­соб ре­ше­ния, ко­неч­но, весь­ма тру­до­ем­кий, но впол­не воз­мож­ный.