PDF-версии: 
Для комплексного числа 
найдите все комплексные числа z, такие, что 
а 
Решение. Представив b в тригонометрической форме:
определяем 
Тогда 
откуда 
либо 
В первом случае 
во втором 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
для которых определено выражение 
на 
Последнее выражение определено, если 
где k — целое число.
отобрать все, не равные 
Отбор будем производить при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Поскольку 2𝜋 кратно каждому из трех чисел: 
и 
то и одного оборота круга будет достаточно для проведения отбора. На рисунке квадратик соответствует точкам вида 
крестики — точкам вида 
кружочки — точкам вида 
Из рисунка следует, что при m = 2; 7; ... и вообще при 
где 
точки серии 
не определено. Поэтому условию задачи удовлетворяют числа t вида 
где m — целое, имеющее вид, отличный от 
Такая форма ответа не соответствует постановке вопроса задачи (в задаче не спрашивалось, чему не может быть равен x).
и 
и 
пересекаются в точке A с абсциссой (−3). Имеем: 
расстояние от которой до точки B(−2; 0) наименьшее.
что равносильно 
Последнее неравенство выполняется при всех действительных x, следовательно, 
Расстояние между двумя точками минимально тогда, когда минимален квадрат этого расстояния. Квадрат расстояния от точки B до точки графика 
с абсциссой x0 равен 
Найдем x, при котором значение функции 
Производная 
Дискриминант трехчлена 
отрицателен, поэтому 
при всех действительных x, и g(x) возрастает на ℝ. Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Единственный корень находится на интервале (−2; −1). Среди отмеченных нами рациональных чисел единственный претендент — число (−4/3).
а 
то (−4/3) — точка минимума, и в ней функция f принимает свое наименьшее значение.
Искомая точка имеет координаты 
при всех допустимых x, а 
при всех допустимых y, то их сумма неотрицательна и равна нулю, только когда 
и 
Найдем x: 
где n — целое. Найдем y: 
где k — целое.
то 
то есть 
Определим последовательные степени тройки, между которыми находится число 
Заметим:
то 
откуда 
Функция 
возрастающая, так как 
при всех 
единственный корень уравнения 
лежит на интервале (1; 2) и не является целым.
Функция g возрастающая; 
Целых корней уравнение 
не имеет.
не является целым.
имеет целый корень 2.
на отрезке [x − 1; x] больше числа (−4)?
Критическими точками функции f являются t1 = 0; t2 = 2. Функция возрастает при 
и при 
и убывает при 
Точка 0 — максимум функции, 
точка 2 — минимум, 
График приведен на рисунке.
то есть при 
и 
то есть 
либо 
