Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2559

При каких x наименьшее значение функции f(t) = t в кубе минус 3t в квадрате на отрезке [x − 1; x] больше числа (−4)?

Спрятать решение

Решение.

Исследуем функцию f(t) и построим ее график. Функция f(t) определена и дифференцируема на ℝ, f'(t) = 3t в квадрате минус 6t = 3t(t минус 2). Критическими точками функции f являются t1 = 0; t2 = 2. Функция возрастает при t меньше или равно 0 и при t больше или равно 2 и убывает при 0 меньше или равно t меньше или равно 2. Точка 0 — максимум функции, f(0) = 0; точка 2 — минимум, f(2) = минус 4. График приведен на рисунке.

Наименьшее значение функции f(t) на отрезке [x − 1; x] больше (−4), когда для каждой точки этого отрезка значение функции больше (−4).

Это достигается при одновременном выполнении двух условий: ни одна точка отрезка [x − 1; x] не попадает на промежуток (−∞; −1]; точка 2 не лежит внутри отрезка [x − 1; x]. (−1 и 2 — точки, в которых значение функции f равно −4).

Первое условие выполняется, если x минус 1 больше минус 1, то есть при x больше 0.

Второе условие описывается совокупностью неравенств 2 меньше x минус 1 и 2 больше x, то есть x меньше 2 либо x больше 3.

 

Ответ: при всех x принадлежит (0; 2) \cup (3; плюс принадлежит fty).

 

Замечание. Допустимо использование способов, разобранных нами при решении задания №6 из первого варианта.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2553

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Задачи на наибольшее и наименьшее значение функции, Исследование функций, Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 10 из 10