Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2559
i

При каких x наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = t в кубе минус 3t в квад­ра­те на от­рез­ке [x − 1; x] боль­ше числа (−4)?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ис­сле­ду­ем функ­цию f(t) и по­стро­им ее гра­фик. Функ­ция f(t) опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на ℝ, f' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = 3t в квад­ра­те минус 6t = 3t левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . Кри­ти­че­ски­ми точ­ка­ми функ­ции f яв­ля­ют­ся t1  =  0; t2  =  2. Функ­ция воз­рас­та­ет при t мень­ше или равно 0 и при t боль­ше или равно 2 и убы­ва­ет при 0 мень­ше или равно t мень­ше или равно 2. Точка 0  — мак­си­мум функ­ции, f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0; точка 2  — ми­ни­мум, f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 4. Гра­фик при­ве­ден на ри­сун­ке.

Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции f(t) на от­рез­ке [x − 1; x] боль­ше (−4), когда для каж­дой точки этого от­рез­ка зна­че­ние функ­ции боль­ше (−4).

Это до­сти­га­ет­ся при од­но­вре­мен­ном вы­пол­не­нии двух усло­вий: ни одна точка от­рез­ка [x − 1; x] не по­па­да­ет на про­ме­жу­ток (−∞; −1]; точка 2 не лежит внут­ри от­рез­ка [x − 1; x]. (−1 и 2  — точки, в ко­то­рых зна­че­ние функ­ции f равно −4).

Пер­вое усло­вие вы­пол­ня­ет­ся, если x минус 1 боль­ше минус 1, то есть при x боль­ше 0.

Вто­рое усло­вие опи­сы­ва­ет­ся со­во­куп­но­стью не­ра­венств 2 мень­ше x минус 1 и 2 боль­ше x, то есть x мень­ше 2 либо x боль­ше 3.

 

Ответ: при всех x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

За­ме­ча­ние. До­пу­сти­мо ис­поль­зо­ва­ние спо­со­бов, разо­бран­ных нами при ре­ше­нии за­да­ния №6 из пер­во­го ва­ри­ан­та.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2553

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи на наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 10 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025