№ 2558 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 13. Комбинированные системы
i
Решите систему уравнений 
Решение. Поскольку 
при всех допустимых x, а 
при всех допустимых y, то их сумма неотрицательна и равна нулю, только когда 
и 
Найдем x: 
где n — целое. Найдем y: 
где k — целое.
Среди целых x выделим такие, для которых определена левая часть второго уравнения, то есть
Найдем все целые x, удовлетворяющие последнему неравенству.
Поскольку 
то 
то есть 
Определим последовательные степени тройки, между которыми находится число 
Заметим:
Поскольку 
то 
откуда 
Итак, существуют четыре целых числа x, для которых определена левая часть второго уравнения: −2; −1; 0; 1. Проверим их:
1) Пусть x = −2. Второе уравнение равносильно следующему: 
Функция 
возрастающая, так как 
при всех 
единственный корень уравнения 
лежит на интервале (1; 2) и не является целым.
2) Пусть x = −1. Получим уравнение g(y) = 0, где 
Функция g возрастающая; 
Целых корней уравнение 
не имеет.
3) Пусть x = 0. Корень уравнения 
не является целым.
4) При x = 1 уравнение 
имеет целый корень 2.
Таким образом, системе удовлетворяет единственная пара чисел (1; 2).
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 2552
