Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2558

Решите систему уравнений  система выражений тангенс в квадрате Пи x плюс корень из [ 4] синус Пи y = 0,(y в кубе минус xy минус 6) корень из (4 умножить на 3 в степени (\textstyle 1 минус x) минус 2 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка в степени x ) = 0. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Поскольку  тангенс в квадрате Пи x больше или равно 0 при всех допустимых x, а  корень из [ 4] синус Пи y больше или равно 0 при всех допустимых y, то их сумма неотрицательна и равна нулю, только когда  тангенс в квадрате Пи x = 0 и  корень из [ 4] синус Пи y = 0. Найдем x:  тангенс Пи x = 0 равносильно Пи x = Пи n равносильно x = n, где n — целое. Найдем y:  синус Пи y = 0 равносильно Пи y минус Пи k равносильно y = k, где k — целое.

Среди целых x выделим такие, для которых определена левая часть второго уравнения, то есть

4 умножить на 3 в степени (\textstyle 1 минус x) минус 2 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка в степени x } больше или равно 0 равносильно 3 в степени ( минус 2x) минус 12 умножить на 3 в степени ( минус x) плюс 2 меньше или равно 0 равносильно 6 минус корень из (34) меньше или равно 3 в степени ( минус x) меньше или равно 6 плюс корень из (34) .

Найдем все целые x, удовлетворяющие последнему неравенству.

Поскольку 11 меньше 6 плюс корень из (34) меньше 12, то  минус x меньше или равно 2, то есть x больше или равно минус 2. Определим последовательные степени тройки, между которыми находится число 6 минус корень из (34) . Заметим:

6 минус корень из (34) = дробь: числитель: 2, знаменатель: 6 плюс корень из (34) конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 плюс корень из (8,5) конец дроби .

Поскольку 3 меньше 3 плюс корень из (8,5) меньше 9, то  дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби меньше 6 минус корень из (34) меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , откуда  минус x больше или равно минус 1 равносильно x меньше или равно 1.

Итак, существуют четыре целых числа x, для которых определена левая часть второго уравнения: −2; −1; 0; 1. Проверим их:

1) Пусть x = −2. Второе уравнение равносильно следующему: y в кубе плюс 2y минус 6 = 0. Функция f(y) = y в кубе плюс 2y минус 6 возрастающая, так как f'(y) = 3y в квадрате плюс 2 больше 0 при всех y принадлежит R ; f(1) меньше 0; f(2) больше 0; единственный корень уравнения f(y) = 0 лежит на интервале (1; 2) и не является целым.

2) Пусть x = −1. Получим уравнение g(y) = 0, где g(y) = y в кубе плюс y минус 6. Функция g возрастающая; g(1) меньше 0; g(2) больше 0. Целых корней уравнение g(y) = 0 не имеет.

3) Пусть x = 0. Корень уравнения y в кубе минус 6 = 0 не является целым.

4) При x = 1 уравнение y в кубе минус y минус 6 = 0 имеет целый корень 2.

Таким образом, системе удовлетворяет единственная пара чисел (1; 2).

 

Ответ: \ (1; 2)\.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2552

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Иррациональные уравнения и их системы, Системы тригонометрических уравнений, Смешанные системы
?
Сложность: 9 из 10