Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2555

Найдите все решения уравнения  косинус в квадрате 4x минус 2 косинус в степени 5 x плюс косинус в квадрате 6x = 0, для которых определено выражение \ctg левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать решение

Решение.

Воспользовавшись формулой приведения, заменим \ctg левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка на  минус тангенс 2x. Последнее выражение определено, если 2x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, где k — целое число.

Обратимся теперь к уравнению и преобразуем его левую часть по формуле понижения степени:

 косинус в квадрате альфа = дробь: числитель: 1 плюс косинус 2 альфа , знаменатель: 2 конец дроби .

Получим уравнение

 косинус 8x плюс косинус 12x = 2 косинус 10x равносильно косинус 10x умножить на косинус 2x = косинус 10x равносильно

 равносильно косинус 10x умножить на ( косинус 2x минус 1) = 0 равносильно совокупность выражений косинус 2x = 1, косинус 10x = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x = 2 Пи n,2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи m, знаменатель: 5 конец дроби , конец совокупности . n, m принадлежит Z .

Далее удобно обозначить 2x за t и среди t, равных либо 2𝜋n, либо  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи m, знаменатель: 5 конец дроби отобрать все, не равные  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k. Отбор будем производить при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Поскольку 2𝜋 кратно каждому из трех чисел: 2 Пи ,  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 5 конец дроби и  Пи , то и одного оборота круга будет достаточно для проведения отбора. На рисунке квадратик соответствует точкам вида 2 Пи n, крестики — точкам вида  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, кружочки — точкам вида  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи m, знаменатель: 5 конец дроби . Из рисунка следует, что при m = 2; 7; ... и вообще при m = 2 плюс 5p, где p принадлежит Z , точки серии  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи m, знаменатель: 5 конец дроби совпадают с некоторыми числами серии  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, то есть с числами, для которых выражение  минус тангенс t не определено. Поэтому условию задачи удовлетворяют числа t вида  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи m, знаменатель: 5 конец дроби , где m — целое, имеющее вид, отличный от 5p плюс 2.

Переходя от переменной t к переменной x, получаем окончательный ответ.

 

Ответ: \left\ Пи n; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи m, знаменатель: 10 конец дроби : n, m принадлежит Z , m не равно 5p плюс 2 : p принадлежит Z \.

 

Замечания.

1. Довольно распространенной ошибкой является такая форма записи ответа \left\ Пи n; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи m, знаменатель: 10 конец дроби ; x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k, n, m принадлежит Z \. Такая форма ответа не соответствует постановке вопроса задачи (в задаче не спрашивалось, чему не может быть равен x).

2. Совсем не обязательно при преобразовании левой части исходного уравнения пользоваться формулой понижения степени. Возможна и такая последовательность преобразований:

 косинус в квадрате 4x минус 2 косинус в квадрате 5x плюс косинус в квадрате 6x = ( косинус в квадрате 4x минус косинус в квадрате 5x) минус ( косинус в квадрате 5x минус косинус в квадрате 6x) = ( косинус 4x минус косинус 5x)( косинус 4x плюс косинус 5x) минус

 минус ( косинус 5x минус косинус 6x)( косинус 5x плюс косинус 6x) = 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби синус дробь: числитель: 9x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: 9x, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби синус дробь: числитель: 11 x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: 11x, знаменатель: 2 конец дроби =
= синус x синус 9x минус синус x синус 11x = минус 2 синус x синус x косинус 10x = ( косинус 2x минус 1) косинус 10x.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2549

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 6 из 10