Найдите все решения уравнения 
для которых определено выражение 
Воспользовавшись формулой приведения, заменим 
на 
Последнее выражение определено, если 
где k — целое число.
Обратимся теперь к уравнению и преобразуем его левую часть по формуле понижения степени:
Получим уравнение
Далее удобно обозначить 2x за t и среди t, равных либо 2𝜋n, либо 
отобрать все, не равные 
Отбор будем производить при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Поскольку 2𝜋 кратно каждому из трех чисел: 
и 
, то и одного оборота круга будет достаточно для проведения отбора. На рисунке квадратик соответствует точкам вида 
крестики — точкам вида 
кружочки — точкам вида 
Из рисунка следует, что при m = 2; 7; ... и вообще при 
где 
точки серии совпадают с некоторыми числами серии то есть с числами, для которых выражение 
не определено. Поэтому условию задачи удовлетворяют числа t вида 
где m — целое, имеющее вид, отличный от 
Переходя от переменной t к переменной x, получаем окончательный ответ.
Ответ: 
Замечания.
1. Довольно распространенной ошибкой является такая форма записи ответа 
Такая форма ответа не соответствует постановке вопроса задачи (в задаче не спрашивалось, чему не может быть равен x).
2. Совсем не обязательно при преобразовании левой части исходного уравнения пользоваться формулой понижения степени. Возможна и такая последовательность преобразований:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2549