Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2554

Для комплексного числа b = минус 2 минус 2i корень из 3 найдите все комплексные числа z, такие, что |z| = 0,5|b|, а |\arg z плюс \arg b| = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Представив b в тригонометрической форме:

b = 4 левая круглая скобка косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс i синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка

определяем |b| = 4; \arg b = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби . Тогда |z| = 2; \left| \arg x минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби | = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби , откуда \arg z = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби либо \arg z = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби . В первом случае z = 2 левая круглая скобка косинус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = минус корень из 3 плюс i, во втором z = 2 левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = 2i.

 

Ответ: z_1 = минус корень из 3 плюс i; z_2 = 2i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2548

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Уравнения с комплексными числами и их системы
?
Сложность: 5 из 10