PDF-версии: 
Для комплексного числа 
найдите все комплексные числа z, такие, что 
а 
Решение. Представим число d в тригонометрической форме:
Отсюда 
и 
Для числа z получим 
а 
может быть равен 
или 
В первом случае
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
для которых определено выражение 
преобразуем исходное уравнение к виду
то 
и 
определен. Решениями уравнения 
будут числа вида πn, где n ∈ ℤ. 
будут числа 
где k ∈ ℤ. Выясним, при каких k 
Поскольку 
то необходимо определить целые k, при которых 
Равенство выполняется, если для некоторого целого m верно равенство 
и выражение 
и 
и 
для кубической параболы 
Имеет место совпадение ординат. Точка C — точка пересечения графиков 
и 
При x = 3 получим, с одной стороны, 
с другой стороны, 
расстояние от которой до начала координат наименьшее.
Поскольку расстояние между точками есть величина неотрицательная, то задача нахождения точки, расстояние от которой до заданной минимально, эквивалентна задаче нахождения точки, квадрат расстояния от которой до заданной минимален.
Мы должны рассматривать только те значения x, при которых определена функция f.
С учетом этого перепишем уравнения как 
положительных корней не имеет, а потому 
— единственная критическая точки функции g на интервале (0; +∞).
а 
то в критической точке 
функция g(x) принимает свое наименьшее значение, а
что равносильно 
Решая последнее неравенство как квадратное относительно 2y, получим 
Поскольку 
а y — целое нечетное число, то допустимыми значениями для y могут быть только − 1; 1 и 3.
причем x — целое число. Подходит x = 2. Тогда 
x = 2 — единственный корень. Таким образом, пара (2; -1) является решением исходной системы.
Проверим числа, которые могут быть его целыми корнями (±1; ±2; ±4), используя, например, схему Горнера. Уравнение 
не имеет целых корней, удовлетворяющих системе пар нет.
Делители свободного члена — числа ±1; ±2; ±4. Положительные числа не могут быть решениями этого уравнения. Отрицательные: − 1; − 2; − 4 — проверяются. Ни одно из них корнем уравнения не является.
на отрезке не меньше числа 2?
на отрезке [x; x + 2] неотрицательно?» Преобразуем выражение для 𝜑(t):
либо 
и двойного неравенства 
откуда x ∈ (−∞; −2] ∪ [−1; 1].
где f(x) — наибольшее значение функции g(t) на отрезке [x; x + 2]. Для этого вначале рассмотрим функцию g(t). Она определена и дифференцируема на ℝ, 
ее критические точки −1 и 1. Функция g(t) убывает при 
и 
и возрастает при 
и при 
ее наибольшее значение на отрезке [x; x + 2] достигается в левом конце отрезка, то есть при t = x. Следовательно, при x ∈ (-∞; −3] ∪ [1; +∞) функция f(x) совпадает с g(x).
то 
при 
при 
который может оказаться полезными при решении других задач на аналогичную тематику.