Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2552

Решите систему уравнений:  система выражений синус в степени 4 Пи x плюс корень из 1 плюс косинус Пи y = 0, левая круглая скобка x в кубе плюс y в квадрате плюс 2xy минус 5 правая круглая скобка корень из 7 умножить на 2 в степени левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка минус 3 умножить на 4 в степени y минус 10 = 0. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим первое уравнение. Оба слагаемых, стоящих в его левой части, неотрицательны, поэтому их сумма равно нулю только в том случае, когда каждое их равно нулю.

 система выражений синус в степени 4 Пи x = 0, корень из 1 плюс косинус Пи y = 0 конец системы . равносильно система выражений синус Пи x = 0, косинус Пи y = минус 1 конец системы . равносильно система выражений x = k,y = 1 плюс 2l, конец системы . k, l принадлежит Z .

Рассмотрим второе уравнение. Его левая часть определена, если 7 умножить на 2 в степени левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка минус 3 умножить на 4 в степени y минус 10 больше или равно 0, что равносильно 3 умножить на 4 в степени y минус 28 умножить на 2 в степени y плюс 10 меньше или равно 0. Решая последнее неравенство как квадратное относительно 2y, получим  дробь: числитель: 14 минус корень из 166, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 2 в степени y меньше или равно дробь: числитель: 14 плюс корень из 166, знаменатель: 3 конец дроби . Поскольку  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше дробь: числитель: 14 минус корень из 166, знаменатель: 3 конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 8 меньше дробь: числитель: 14 плюс корень из 166, знаменатель: 3 конец дроби меньше 9, а y — целое нечетное число, то допустимыми значениями для y могут быть только − 1; 1 и 3.

Проверим каждое из чисел.

1) Если y = − 1, то второе уравнение системы равносильно такому x в кубе минус 2x минус 4 = 0, причем x — целое число. Подходит x = 2. Тогда  левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 2 правая круглая скобка = 0; x = 2 — единственный корень. Таким образом, пара (2; -1) является решением исходной системы.

2) Если y = 1, то получаем x в кубе плюс 2x минус 4 = 0. Проверим числа, которые могут быть его целыми корнями (±1; ±2; ±4), используя, например, схему Горнера. Уравнение x в кубе плюс 2x минус 4 = 0 не имеет целых корней, удовлетворяющих системе пар нет.

3) Пусть y = 3. Уравнение имеет вид x в кубе плюс 6x плюс 4 = 0. Делители свободного члена — числа ±1; ±2; ±4. Положительные числа не могут быть решениями этого уравнения. Отрицательные: − 1; − 2; − 4 — проверяются. Ни одно из них корнем уравнения не является.

Таким образом, единственная пара (2; − 1) удовлетворяет системе уравнений.

 

Ответ: (2; − 1).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2558

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 2, вариант 1
? Классификатор: Иррациональные уравнения и их системы, Системы тригонометрических уравнений, Смешанные системы
?
Сложность: 9 из 10