№ 2552 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 13. Комбинированные системы
i
Решите систему уравнений: 
Решение. Рассмотрим первое уравнение. Оба слагаемых, стоящих в его левой части, неотрицательны, поэтому их сумма равно нулю только в том случае, когда каждое их равно нулю.
Рассмотрим второе уравнение. Его левая часть определена, если 
что равносильно 
Решая последнее неравенство как квадратное относительно 2y, получим 
Поскольку 
а y — целое нечетное число, то допустимыми значениями для y могут быть только − 1; 1 и 3.
Проверим каждое из чисел.
1) Если y = − 1, то второе уравнение системы равносильно такому 
причем x — целое число. Подходит x = 2. Тогда 
x = 2 — единственный корень. Таким образом, пара (2; -1) является решением исходной системы.
2) Если y = 1, то получаем 
Проверим числа, которые могут быть его целыми корнями (±1; ±2; ±4), используя, например, схему Горнера. Уравнение 
не имеет целых корней, удовлетворяющих системе пар нет.
3) Пусть y = 3. Уравнение имеет вид 
Делители свободного члена — числа ±1; ±2; ±4. Положительные числа не могут быть решениями этого уравнения. Отрицательные: − 1; − 2; − 4 — проверяются. Ни одно из них корнем уравнения не является.
Таким образом, единственная пара (2; − 1) удовлетворяет системе уравнений.
Ответ: (2; − 1).
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: (2; − 1).
Задание парного варианта: 2558
