Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2549
i

Най­ди­те все ре­ше­ния урав­не­ния  синус в квад­ра­те 3x плюс синус в квад­ра­те 5x = 2 синус в квад­ра­те 4x, для ко­то­рых опре­де­ле­но вы­ра­же­ние  тан­генс левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой по­ни­же­ния сте­пе­ни:  дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние к виду

 дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 6x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 10x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 1 минус ко­си­нус 8x рав­но­силь­но ко­си­нус 6x плюс ко­си­нус 10 x = 2 ко­си­нус 8x.

Далее по­лу­чим

2 ко­си­нус 8x ко­си­нус 2x = 2 ко­си­нус 8x рав­но­силь­но 2 ко­си­нус 8x левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 2x = 1, ко­си­нус 8x = 0. конец со­во­куп­но­сти .

Если  ко­си­нус 2x = 1, то  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка не равно 0, и  тан­генс левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка опре­де­лен. Ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния  ко­си­нус 2x = 1 будут числа вида πn, где n ∈ ℤ.

Ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния  ко­си­нус 8x = 0 будут числа x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , где k ∈ ℤ. Вы­яс­ним, при каких k  тан­генс левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка не опре­де­лен, то есть  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . По­сколь­ку 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , то не­об­хо­ди­мо опре­де­лить целые k, при ко­то­рых  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 0. Ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся, если для не­ко­то­ро­го це­ло­го m верно ра­вен­ство

 дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи m рав­но­силь­но k = 1 плюс 4m.

Таким об­ра­зом, если k  — целое число вида, от­лич­но­го от 4m + 1, то  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка не равно 0, и вы­ра­же­ние  тан­генс левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка опре­де­ле­но.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка Пи n; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби : k, n при­над­ле­жит Z , k не равно 4m плюс 1 : m при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2555

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 6 из 10