Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2549

Найдите все решения уравнения  синус в квадрате 3x плюс синус в квадрате 5x = 2 синус в квадрате 4x, для которых определено выражение  тангенс левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать решение

Решение.

Воспользовавшись формулой понижения степени:  дробь: числитель: 1 минус косинус альфа , знаменатель: 2 конец дроби = синус в квадрате дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби , преобразуем исходное уравнение к виду

 дробь: числитель: 1 минус косинус 6x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1 минус косинус 10x, знаменатель: 2 конец дроби = 1 минус косинус 8x равносильно косинус 6x плюс косинус 10 x = 2 косинус 8x.

Далее получим

2 косинус 8x косинус 2x = 2 косинус 8x равносильно 2 косинус 8x левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус 2x = 1, косинус 8x = 0. конец совокупности .

Если  косинус 2x = 1, то  косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка не равно 0, и  тангенс левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка определен. Решениями уравнения  косинус 2x = 1 будут числа вида πn, где n ∈ ℤ.

Решениями уравнения  косинус 8x = 0 будут числа x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 8 конец дроби , где k ∈ ℤ. Выясним, при каких k  тангенс левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка не определен, то есть  косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка . Поскольку 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , то необходимо определить целые k, при которых  косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = 0. Равенство выполняется, если для некоторого целого m верно равенство

 дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи m равносильно k = 1 плюс 4m.

Таким образом, если k — целое число вида, отличного от 4m + 1, то  косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка не равно 0, и выражение  тангенс левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка определено.

 

Ответ:  левая фигурная скобка Пи n; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 8 конец дроби : k, n принадлежит Z , k не равно 4m плюс 1 : m принадлежит Z правая фигурная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2555

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 2, вариант 1
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 6 из 10