Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2553

При каких x наибольшее значение функции g левая круглая скобка t правая круглая скобка = 3t минус t в кубе на отрезке не меньше числа 2?

Спрятать решение

Решение.

I способ. Перейдем к эквивалентной задаче: «При каких x наибольшее значение функции \varphi левая круглая скобка t правая круглая скобка = 3t минус t в кубе минус 2 на отрезке [x; x + 2] неотрицательно?» Преобразуем выражение для 𝜑(t):

 минус t в кубе плюс 3t минус 2 = минус левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс t минус 2 правая круглая скобка = минус левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка .

Заметим, 𝜑(t) неотрицательно, когда либо t меньше или равно минус 2, либо t = 1.

Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы на отрезке [x; x + 2] нашлась хотя бы одна точка, для которой 𝜑(t) неотрицательно, то есть точка с координатой, меньшей либо равной −2, либо точка 1. Это описывается совокупностью неравенства x меньше или равно минус 2 и двойного неравенства x меньше или равно 1 меньше или равно x плюс 2, откуда x ∈ (−∞; −2] ∪ [−1; 1].

II способ. Исследуем функцию y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка , где f(x) — наибольшее значение функции g(t) на отрезке [x; x + 2]. Для этого вначале рассмотрим функцию g(t). Она определена и дифференцируема на ℝ, g' левая круглая скобка t правая круглая скобка = 3 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка ; ее критические точки −1 и 1. Функция g(t) убывает при t меньше или равно минус 1 и t больше или равно 1 и возрастает при  минус 1 меньше или равно t меньше или равно 1; g левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 2; g левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = 2.

Поскольку g(t) убывает на (−∞; −1] и на [1; +∞), то при x меньше или равно минус 3 и при x больше или равно 1 ее наибольшее значение на отрезке [x; x + 2] достигается в левом конце отрезка, то есть при t = x. Следовательно, при x ∈ (-∞; −3] ∪ [1; +∞) функция f(x) совпадает с g(x).

Пусть x ∈ (−1; 1). Точка t0 = 1 — точка максимума функции g(t) — принадлежит отрезку [x; x + 2], поэтому для всех x ∈ (−1; 1) выполнено f(x) = 2.

Если x ∈ (−3; −1], то на отрезке [x; x + 2] лежит точка (−1) — точка минимума функции g(t). Для таких x значение f(x) равно наибольшему их двух значений: g(x) и g(x + 2). Среди x ∈ (−3; −1] определим такие, для которых g(x + 2) > g(x) (для оставшихся, очевидно будет выполняться неравенство g(x + 2) ⩽ g(x)):

3 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в кубе больше 3x минус x в кубе равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в кубе минус x в кубе меньше 6 равносильно 3x в квадрате плюс 6x плюс 1 меньше 0 равносильно минус 1 минус корень из дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше минус 1 плюс корень из дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

Поскольку  минус 3 меньше x меньше минус 1, то g левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше g левая круглая скобка x правая круглая скобка при  минус 1 минус корень из дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше или равно минус 1.

Теперь можно задать аналитически функцию f.

f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая фигурная скобка \beginarraylr 3x минус x в кубе , если x меньше или равно минус 1 минус корень из \dfrac 23 или x больше или равно 1, 3 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в кубе , если минус 1 минус корень из \dfrac 23 меньше x меньше или равно минус 1, 2, если минус 1 меньше x меньше 1. \endarray

Остается решить неравенство f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 2.

Получаем три системы:

 система выражений 3x минус x в кубе больше или равно 2, совокупность выражений x меньше или равно минус 1 минус корень из дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,x больше или равно 1 конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, совокупность выражений x меньше или равно минус 1 минус корень из дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,x больше или равно 1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше или равно минус 2,x = 1; конец совокупности .

 система выражений 3 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в кубе больше или равно 2, минус 1 минус корень из дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше или равно минус 1 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, минус 1 минус корень из дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше или равно минус 1 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно минус 3,x = минус 1, конец системы . минус 1 минус корень из дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше или равно минус 1 конец совокупности . равносильно x = минус 1;

 система выражений 2 больше или равно 2, минус 1 меньше x меньше 1 конец системы . равносильно минус 1 меньше x меньше 1.

Объединяя результаты, получим: f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 2 при x меньше или равно минус 2 и при  минус 1 меньше или равно x меньше или равно 1.

 

Замечание. Безусловно, первый из предложенных способов более изящен и более эффективен. Ценность второго способа заключается в том, что он демонстрирует прием конструирования функций вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка = \max_ левая квадратная скобка альфа левая круглая скобка x правая круглая скобка ; бета левая круглая скобка x правая круглая скобка правая квадратная скобка g левая круглая скобка t правая круглая скобка , который может оказаться полезными при решении других задач на аналогичную тематику.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2559

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 2, вариант 1
? Классификатор: Задачи на наибольшее и наименьшее значение функции, Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 10 из 10