Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2548

Для комплексного числа d = корень из 3 минус i найдите все комплексные числа z, такие, что |z| = 2 |d|, а |\arg d минус \arg z| = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Представим число d в тригонометрической форме:

d = 2 левая круглая скобка косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка плюс i синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка .

Отсюда |d = 2| и \arg d = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби . Для числа z получим |z| = 4, а \arg z может быть равен  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби или  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби . В первом случае

z = 4 левая круглая скобка косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс i синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка = минус 4i,

во втором

z = 4 левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = 2 корень из 3 плюс 2i.

Ответ: z_1 = минус 4i; z_2 = 2 корень из 3 плюс 2i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2554

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 2, вариант 1
? Классификатор: Уравнения с комплексными числами и их системы
?
Сложность: 5 из 10