1.  Решим урав­не­ние

По­ло­жим по­лу­чим квад­рат­ное урав­не­ние кор­ня­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся числа

то есть или Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной: урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, по­сколь­ку ариф­ме­ти­че­ский квад­рат­ный ко­рень не при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ных зна­че­ний. Урав­не­ние даёт:

2.  Удво­ен­ный ко­рень урав­не­ния равен 6, по­это­му в гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии шесть чле­нов. Обо­зна­чим их b_{1, 2, ..., 6.} Тогда и За­ме­тим, что

что по усло­вию равно 280. Тогда от­ку­да Вернёмся к сумме пер­вых трёх чле­нов про­грес­сии:

3.  Чтобы ре­шить урав­не­ние пе­рей­дем в левой части к ос­но­ва­нию 9, по­лу­чим

Тогда от­ку­да Про­вер­ка по­ка­зы­ва­ет, что най­ден­ный ко­рень по­сто­рон­ний (см. при­ме­ча­ние ниже); пока про­пу­стим этот не­до­смотр со­ста­ви­те­лей.

4.  Решим урав­не­ние Ис­поль­зуя опре­де­ле­ние числа раз­ме­ще­ний и опре­де­ле­ние фак­то­ри­а­ла све­дем урав­не­ние к квад­рат­но­му от­но­си­тель­но m:

При де­ле­нии на m! и при со­кра­ще­нии дроби на могли по­явить­ся по­сто­рон­ние корни, по­это­му не­об­хо­ди­ма про­вер­ка. Про­вер­ка по­ка­зы­ва­ет, что число −1  — по­сто­рон­ний ко­рень, так как по смыс­лу за­да­чи m  — на­ту­раль­ное число, не мень­шее че­ты­рех. Число 6 яв­ля­ет­ся кор­нем.

5.  Обо­зна­чим ко­ли­че­ство уче­ни­ков N, по усло­вию Из най­ден­ных усло­вий по­лу­чим, что и По­лу­чим:

Сле­до­ва­тель­но,

Решим двой­ное не­ра­вен­ство

Тем самым в школе было уче­ни­ков.

Ответ: в школе было уче­ни­ков 175.

При­ме­ча­ние Д. Д. Гу­щи­на.

В обо­зна­че­нии число n под­ра­зу­ме­ва­ет­ся на­ту­раль­ным и от­лич­ным от 1, то есть Под­став­ляя най­ден­ное в шаге 3 зна­че­ние y в ис­ход­ное урав­не­ние по­лу­чим ра­вен­ство Такое ра­вен­ство про­ти­во­ре­чит опре­де­ле­нию корня, а по­то­му ложно. Ана­ло­гич­ную ошиб­ку можно до­пу­стить, за­пи­сав ис­ход­ное урав­не­ние в виде и по­лу­чив урав­не­ние от­ку­да Ра­вен­ство дей­стви­тель­но, верно, но за­ме­нять вы­ра­же­ни­ем можно толь­ко для на­ту­раль­ных и от­лич­ных от 1 по­ка­за­те­лей сте­пе­ни корня n.

С дру­гой сто­ро­ны, если от­бро­сить по­сто­рон­ний ко­рень, не по­лу­чит­ся про­дол­жить ре­ше­ние, а как это будет рас­це­не­но, эк­за­ме­ну­е­мо­му не­ве­до­мо. В такой си­ту­а­ции остаётся лишь до­га­дать­ся, чего хо­те­ли эк­за­ме­на­то­ры, из­ло­жив в ре­ше­нии и свою точку зре­ния. Так мы и по­сту­пи­ли.

Чи­та­тель, ко­неч­но, за­ме­тил, что эта эк­за­ме­на­ци­он­ная за­да­ча 1910 года по сути яв­ля­ет­ся ком­плек­сом во­про­сов, от­но­ся­щих­ся к раз­лич­ным раз­де­лам ма­те­ма­ти­ки. В 1912 году за­ме­ти­ли это и в Ми­ни­стер­стве на­род­но­го про­све­ще­ния. Ми­ни­стер­ство по­счи­та­ло это было край­не не­же­ла­тель­ным. За­ме­сти­те­лем ми­ни­стра было под­го­тов­ле­но пред­ло­же­ние пе­да­го­ги­че­ским со­ве­там об упро­ще­нии задач пись­мен­но­го эк­за­ме­на. При­ведём его ниже, цит.  по: В. Мав­риц «Пра­ви­ла и про­грам­мы клас­си­че­скихъ гимнвiй и про­гим­назій вѣдом­ства ми­ни­стер­ства на­род­на­го просвѣщенія и по­дроб­ныя про­грам­мы ис­пы­танія зрѣлости въ ис­пы­та­тель­ны­хъ но­ми­те­тахъ при учеб­ны­хъ окру­гахъ», Москва, 1912, стр. 169.

Под­верг­нувъ раз­смотрѣнію ма­те­ма­ти­ческія за­да­чи, пред­ло­жен­ныя для рѣшенія въ 1911 году на ис­пы­таніяхъ зрѣлости въ муж­скихъ гим­назіяхъ, а также на вы­пуск­ны­хъ и окон­ча­тель­ны­хъ ис­пы­таніяхъ въ ре­аль­ны­хъ учи­ли­щахъ, Ми­ни­стер­ство На­родн. Про­свьщ. не могло не об­ра­тить вни­манія на то, что на ис­пы­таніяхъ зрѣлости въ сред­ни­хъ учеб­ны­хъ за­ве­деніяхъ нерѣдко пред­ла­га­ют­ся для рѣшенія за­да­чи по ма­те­ма­тикѣ, въ осо­бен­но­сти по ал­гебрѣ, не за­мыс­ло­ва­тыя по со­дер­жанію, но край­не ослюж­ня­е­мыя до­ба­воч­ны­ми вы­чис­леніями, ко­то­рыя не­об­хо­ди­мо вы­пол­нить для отыс­канія вхо­дя­щихъ въ ос­нов­ную за­да­чу ве­ли­ч­инъ.

Та­ки­мъ об­ра­зо­мъ вмѣсто одной за­да­чи для рѣшенія пред­ла­га­ет­ся въ дѣйстви­тель­но­сти цѣлый ком­плекть за­да­чъ на раз­лич­ные отдѣлы курса, ис­кус­но между собою свя­зан­ные ино­гда въ до­воль­но стран­ную ком­би­націю.

При­ни­мая во вни­маніе, что по ма­те­ма­тикѣ, кромѣ пись­мен­ны­хъ, су­ще­ству­ютъ еще уст­ныя ис­пы­танія, на ко­то­рыхъ можно пред­ла­гать эк­за­ме­ну­ю­щим­ся во­про­сы по раз­лич­ны­мъ отдђламъ курса, Ми­ни­стер­ство при­зна­етъ по­доб­ныя ука­зан­ны­мъ выше ослож­ненія за­да­чъ со­вер­шен­но не­же­ла­тель­ны­ми.

Въ виду сего за Ми­ни­стра На­род­на­го Просвѣщенія г. То­ва­ри­щъ Ми­ни­стра д. с. с. Таубе пред­ло­женіемъ отъ 16 марта с. г., за № 12425, про­ситъ пред­ло­жить пе­да­го­ги­че­ски­мъ совѣтамъ сред­ни­хъ учеб­ны­хъ за­ве­деній упро­щать на бу­ду­щее время форму за­да­чъ, пред­ла­га­е­мы­хъ для рѣшенія на ука­зан­ны­хъ выше ис­пы­таніяхъ, при­со­во­куп­ляя, что совѣтамъ предо­став­ля­ет­ся право за­да­вать, если они при­зна­ютъ это нуж­ны­мъ, для обя­за­тель­на­го рѣшенія по двѣ за­да­чи по од­но­му и тому же отдѣлу.

Про­цент­ных денег от 2912 руб­лей, от­дан­ных под 4% го­до­вых, было бы 116 руб. 48 коп. за 12 ме­ся­цев. За пол­то­ра же ме­ся­ца будет на­чис­ле­но в 12 : 1,5  =  8 раз мень­ше, то есть 2912 : 8  =  14 руб. 56 коп.

За­ме­тим, что по­это­му:

Сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ства фун­тов, куп­лен­ных тремя по­ку­па­те­ля­ми, от­но­сят­ся между собой как Умно­жая на 6 и раз­де­лив на 5, по­лу­ча­ем от­но­ше­ние Ежели тре­тий по­ку­па­тель за­пла­тил за по­куп­ку x руб., то вто­рой за­пла­тил 3x руб., а пер­вый  — 4x руб., при­чем вто­рой за­пла­тил на 2х боль­ше тре­тье­го. Из этого по­лу­ча­ем, что а тогда руб. Общая же цена по­куп­ки равна

На эту сумму была куп­ле­на смесь, ценою по 64 коп., всего

смеси.

Цена 64 коп. за фунт смеси со­дер­жит 28% при­бы­ли. Без при­бы­ли же фунт стоит 64  :  1,28  =  50 коп. Если бы вся смесь со­сто­я­ла толь­ко из более де­ше­во­го кофе, то ее фунт стоил бы 40 ко­пе­ек. За­ме­нив один фунт де­ше­во­го кофе одним фун­том до­ро­го­го, ла­воч­ник уве­ли­чил бы сто­и­мость фунта смеси на 26 ко­пе­ек. Зна­чит, чтобы уве­ли­чить сто­и­мость на 10 ко­пе­ек, на­доб­но до­ба­вить не один фунт, а то есть фунта до­ро­го­го кофе на каж­дый фунт смеси. По­се­му смесь на со­сто­ит из до­ро­го­го кофе и на из де­ше­во­го кофе. Общая масса кофе 91 фунт, в этом ко­ли­че­стве до­ро­гой кофе со­став­ля­ет

остав­ши­е­ся же фун­тов это де­ше­вый кофе.

Ответ: в смеси 35 фун­тов кофе по цене 66 коп. и 56 фун­тов кофе по цене 40 коп.

Ви­део­раз­бор.

Све­де­ние этой за­да­чи к си­сте­ме урав­не­ний при­ве­де­но в пре­крас­ном ви­део­раз­бо­ре мос­ков­ско­го учи­те­ля Ми­ха­и­ла По­по­ва.

При­ме­ча­ние.

Эта за­да­ча взята нами из про­то­ко­ла пись­мен­но­го ис­пы­та­ния по ариф­ме­ти­ке уче­ниц 4 клас­са част­ной жен­ской про­гим­на­зии Э. В. Эрик­сон от 25.04.1913. На­чал­ся эк­за­мен в 2 3/4 и кон­чил­ся в 4 часа 50 минут (то есть на­чал­ся в 14:45, за­кон­чил­ся в 16:50). Эк­за­ме­но­ва­лись 28 уче­ниц, обу­чав­ших­ся в те­ку­щем году в про­гим­на­зии (ф. 139 оп. 1 д. 13937, л. 41).

Про­гим­на­зии в Рос­сий­ской им­пе­рии были учре­жде­ны в 1864 году, могли быть муж­ски­ми, жен­ски­ми или во­ен­ны­ми. В на­ча­ле XX века в Рос­сии было 200 про­гим­на­зий. В про­гим­на­зи­ях было че­ты­ре клас­са об­ра­зо­ва­ния (реже  — шесть), со­от­вет­ство­вав­ших четырём млад­шим клас­сам гим­на­зии. Вы­пуск­ни­ки могли по­сту­пать в стар­шие клас­сы гим­на­зий или ра­бо­тать учи­те­ля­ми на­чаль­ных школ. Не­мно­го о жен­ском об­ра­зо­ва­нии в конце XIX  — на­ча­ле XX века можно в этой ста­тье.

Ком­мер­че­ский учет озна­ча­ет по­куп­ку вес­ке­ля де­шев­ле но­ми­наль­ной сто­и­мо­сти. Пе­ри­од ме­ся­ца, то есть 1,2 ме­ся­ца, со­став­ля­ет 0,1 года. За такое время умень­ше­ние сто­и­мо­сти вес­ке­ля равно

а по­то­му сто­и­мость его про­да­жи со­став­ля­ет 745 руб. 20 коп.

Доли, в ко­то­рых сме­ша­ли сорта чая, равны от­но­ше­нию Раз­де­лив сумму от про­да­жи век­се­ля на 4 доли, на­хо­дим одну долю:

На эту сумму было куп­ле­но до­ро­го­го чая, что по весу со­став­ля­ет

На де­ше­вый чай было по­тра­че­но 3 доли или 745 руб. 20 коп. На эту сумму было куп­ле­но

Ответ: фунта чаю по 3 руб. 20 коп. за фунт и 207 фун­тов чаю по 3 руб. 80 коп. за фунт.