а)  После под­ста­нов­ки по­лу­чим урав­не­ние от­ку­да Оста­лось ре­шить урав­не­ние

У мно­го­чле­на в левой части есть ко­рень по­это­му мно­го­член рас­кла­ды­ва­ет­ся на мно­жи­те­ли, один из ко­то­рых равен Вы­де­лим его Корни вто­ро­го мно­жи­те­ля это из ко­то­рых толь­ко вхо­дит в ОДЗ ис­ход­но­го урав­не­ния.

б)  Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство Ясно что оно опре­делeно при по­лу­чим

По­сколь­ку то зна­ме­на­те­ли по­ло­жи­тель­ны и на них можно до­мно­жить

Ис­поль­зу­ем ра­ци­о­на­ли­за­цию:

по­лу­чим Все такие x под­хо­дят в усло­вие зна­чит, это и есть ответ.

в)  За­пи­шем урав­не­ние в виде от­ку­да (при урав­не­ние не вы­пол­ня­ет­ся ни при каком a, по­это­му от де­ле­ния на x корни не по­те­ря­ют­ся). Кроме того, от­ку­да Ис­сле­ду­ем функ­цию при и вы­яс­ним, какие зна­че­ния она при­ни­ма­ет ровно один раз. Возь­мем ее про­из­вод­ную

что по­ло­жи­тель­но при и от­ри­ца­тель­но при (кроме точки где она не опре­де­ле­на). Зна­чит, функ­ция убы­ва­ет при и при и воз­рас­та­ет при При этом

Таким об­ра­зом, на своих про­ме­жут­ках мо­но­тон­но­сти она при­ни­ма­ет зна­че­ния из про­ме­жут­ков Зна­чит, по од­но­му разу она при­ни­ма­ет зна­че­ния из мно­же­ства

г)  За­пи­шем урав­не­ние в виде или от­ку­да Най­дем наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции при по­ло­жи­тель­ном x, имеем:

что по­ло­жи­тель­но при и от­ри­ца­тель­но при Зна­чит, ми­ни­мум этой функ­ции до­сти­га­ет­ся при и равен он

Ком­мен­та­рий. До­ка­за­тель­ство по­след­не­го не­ра­вен­ства  — часть до­ка­за­тель­ства су­ще­ство­ва­ния числа e, но если этого не пом­нить, то можно до­ка­зать его так:

До­ка­жем, что даже для ве­ще­ствен­ных по­ло­жи­тель­ных чисел, а не толь­ко для на­ту­раль­ных, это не­ра­вен­ство верно. Обо­зна­чим тогда Рас­смот­рим про­из­вод­ную функ­ции в левой части

До­ка­жем те­перь, что вто­рой мно­жи­тель не­от­ри­ца­те­лен. При он равен а его про­из­вод­ная, рав­ная

зна­чит, этот мно­жи­тель воз­рас­та­ет и по­это­му он по­ло­жи­те­лен при

Зна­чит, и по­это­му и функ­ция воз­рас­та­ет. Оста­лось убе­дить­ся, что ее пре­дел при равен 1, тогда не­ра­вен­ство будет вы­пол­не­но при всех

Но в ре­аль­но­сти это до­ка­за­тель­ство  — ло­ги­че­ский круг, по­сколь­ку и про­из­вод­ная ло­га­риф­ма, и само опре­де­ле­ние числа e тре­бу­ют зна­ния того са­мо­го пре­де­ла.

Ответ: а) при или б) в)