Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2087

3А. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из x в квадрате плюс x плюс 7 минус корень из x в квадрате минус x плюс 1.

а)  Решите неравенство f левая круглая скобка x правая круглая скобка \leqslant1.

б)  Найдите множество значений функции f.

в)  Докажите неравенство

 принадлежит t_0 в степени 1 \dfrac2f левая круглая скобка x правая круглая скобка dx плюс принадлежит t_0 в степени 1 f левая круглая скобка x правая круглая скобка dx\leqslant3.

г)  Найдите все k принадлежит \Bbb Z, такие что f левая круглая скобка k правая круглая скобка принадлежит \Bbb Q.

Спрятать решение

Решение.

а)  Выводим неравенство:

 корень из x в квадрате плюс x плюс 7 меньше или равно 1 плюс корень из x в квадрате минус x плюс 1 равносильно x в квадрате плюс x плюс 7 меньше или равно 1 плюс 2 корень из x в квадрате минус x плюс 1 плюс x в квадрате минус x плюс 1 равносильно

 равносильно 2x плюс 5 меньше или равно 2 корень из x в квадрате минус x плюс 1.

Очевидно, все x меньше минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби подходят, а при x больше или равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби получаем:

4x в квадрате плюс 20x плюс 25 меньше или равно 4x в квадрате минус 4x плюс 4 равносильно 24x меньше или равно минус 21 равносильно x меньше или равно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби .

б)  Исследуем функцию f на монотонность, найдем производную:

f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка корень из x в квадрате минус x плюс 1 минус левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка корень из x в квадрате плюс x плюс 7, знаменатель: 2 корень из x в квадрате минус x плюс 1 умножить на корень из x в квадрате плюс x плюс 7 конец дроби .

Решим неравенство f' левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 0. Для этого заметим, что на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка оно очевидно выполнено, на луче  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка эквивалентно неравенству

 левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 4x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 1 правая круглая скобка \leqslant левая круглая скобка 4x в квадрате минус 4x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка .

С другой стороны, на луче  левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка эквивалентно неравенству

 левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 4x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant левая круглая скобка 4x в квадрате минус 4x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка .

Решая эти неравенства, получаем, что f' левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 0 на луче  левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая квадратная скобка То есть функция f возрастает на луче  левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая квадратная скобка . и убывает на луче  левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка . Также f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =2. Заметим теперь, что:

\lim_xarrow \pm бесконечность f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\lim_xarrow\pm бесконечность дробь: числитель: 2x плюс 6, знаменатель: корень из x в квадрате плюс x плюс 7 плюс корень из x в квадрате минус x плюс 1 конец дроби =\pm 1.

В итоге получаем ответ.

в)  Требуется доказать, что

 принадлежит t\limits_0 в степени 1 дробь: числитель: f в квадрате левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 2, знаменатель: f левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби dx меньше или равно 0.

Но из доказанного в пункте «б» ясно, что при x принадлежит левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка

f левая круглая скобка x правая круглая скобка принадлежит левая квадратная скобка корень из 7 минус 1; 2 правая квадратная скобка равносильно f левая круглая скобка x правая круглая скобка принадлежит левая квадратная скобка 1; 2 правая квадратная скобка ,

но тем самым  дробь: числитель: f в квадрате левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 2, знаменатель: f левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 на отрезке  левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка . Но отсюда очевидно требуемое.

г)  Пусть f левая круглая скобка k правая круглая скобка принадлежит Q , то есть  корень из k в квадрате плюс k плюс 7 минус корень из k в квадрате минус k плюс 1 принадлежит Q , т. е.

 дробь: числитель: 2x плюс 6, знаменатель: корень из k в квадрате плюс k плюс 7 плюс корень из k в квадрате минус k плюс 1 конец дроби принадлежит Q .

Заметим, что k= минус 3 очевидно подходит. При остальных k получаем, что  корень из k в квадрате плюс k плюс 7 плюс корень из k в квадрате минус k плюс 1 принадлежит Q . Но тем самым  корень из k в квадрате плюс k плюс 7 принадлежит Q и  корень из k в квадрате минус k плюс 1 принадлежит Q . Но корень из целого числа  — число либо целое, либо иррациональное, поэтому, так как f левая круглая скобка k правая круглая скобка принадлежит Q , получаем, что f левая круглая скобка k правая круглая скобка принадлежит Z . Но E левая круглая скобка f правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1; 2 правая квадратная скобка . Остается найти целые решения уравнений f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0, f левая круглая скобка x правая круглая скобка =1, f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2.

 

Ответ: а)  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка ; б)  левая круглая скобка минус 1; 2 правая квадратная скобка ; г) −3; 1.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 1
? Классификатор: Иррациональные неравенства, Иррациональные уравнения и их системы
?
Сложность: 11 из 10