PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Представим уравнение в виде
заметим, что левая часть является однородным многочленом третьей степени от двух переменных 
и 
тогда 
Разделив обе части уравнения (1) на не равное нулю 
имеем равносильное уравнение
Полагая 
получим 
или 
Так как 
то 
и 
т. е. 
или 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Укажите решения уравнения, для которых выполняется неравенство 
Тогда, разделив на 
числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части, имеем равносильное уравнение
получим 
т. е. 
и 
где 
Если 
то и 
т. е. условию 
удовлетворяют 
при 
из них удовлетворяют условию 
в виде 
т. е. 
Из условия равенства котангенсов следует, что 
где 
при 
Предложим схему двух способов его решения.
Она определена на 
и равна нулю при 
Из рисунка видно, что 
при 
и 
Учитывая это при решении неравенства 
заметим: необходимо, чтобы 
Тогда 
Из неравенства 
следует при 
что 
т. е. 
определена на 
и принимает неотрицательные значения, то значение интеграла 
равно площади криволинейной трапеции PANO на рисунке. Пусть 
Тогда 
комплексной плоскости таких, что 
K — множество точек 
комплексной плоскости вида 
где 
Найдите расстояние между фигурами M и K.
тогда 
или 
Множество M точек комплексной плоскости, удовлетворяющих данному условию, есть окружность с центром в точке 
и радиусом 
Если обозначить 
то 
и 
Множество K точек комплексной плоскости, удовлетворяющих этому условию есть окружность с центром в точке 
и радиусом 
и 
соответственно (см. рис.), что 
и 
Для ломаной 
и прямой 
выполняется неравенство 
таким способом решали многие учащиеся.
касается графика функции 
необходимо и достаточно наличие такой их общей точки M 
для которой выполняются условия
Отсюда 
При условии 
имеем 
Подставив найденное значение 
в первое уравнение системы, получим 
