Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4633
i

Ре­ши­те урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x плюс синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x минус синус x конец дроби =\ctg x. Ука­жи­те ре­ше­ния урав­не­ния, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство  ко­си­нус x умно­жить на синус x боль­ше 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние не­сколь­ки­ми спо­со­ба­ми.

Ⅰ  спо­соб. По усло­вию,  синус x не равно 0. Тогда, раз­де­лив на  синус x чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби, сто­я­щей в левой части, имеем рав­но­силь­ное урав­не­ние

 дробь: чис­ли­тель: \ctg x плюс 1, зна­ме­на­тель: \ctg x минус 1 конец дроби =\ctg x.

Под­ста­вив \ctg x=t, по­лу­чим t в квад­ра­те минус 2t минус 1=0, т. е. t_1, 2=1\pm ко­рень из 2 и x=\arcctg левая круг­лая скоб­ка 1\pm ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс Пи n, где n при­над­ле­жит Z . Если  ко­си­нус x умно­жить на синус x боль­ше 0, то и \ctg x боль­ше 0, т. е. усло­вию  ко­си­нус x умно­жить на синус x боль­ше 0 удо­вле­тво­ря­ют x=\arcctg левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс Пи k, при k при­над­ле­жит Z .

 

Ответ: x=\arcctg левая круг­лая скоб­ка 1\pm ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс Пи n, где n при­над­ле­жит Z , из них удо­вле­тво­ря­ют усло­вию  ко­си­нус x умно­жить на синус x боль­ше 0 толь­ко x=\arcctg левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс Пи k, при k при­над­ле­жит Z .

 

Ⅱ  спо­соб. Пе­ре­пи­шем урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x плюс синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x минус синус x конец дроби =\ctg x в виде  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =\ctg x, т. е.  \ctg левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =\ctg x. Из усло­вия ра­вен­ства ко­тан­ген­сов сле­ду­ет, что

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус x плюс Пи n ,x не равно Пи k. конец си­сте­мы .

 

Ответ: x= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , где n при­над­ле­жит Z , из них удо­вле­тво­ря­ют усло­вию  ко­си­нус x умно­жить на синус x боль­ше 0 толь­ко x= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс Пи k, при k при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4639

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1991 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 6 из 10