PDF-версии: 
Найдите абсциссы всех общих точек графиков функций 
и 
Решение. Абсцисса общей точки графиков должна удовлетворять уравнению
Из второго уравнения заключаем, что
а отсюда получаем уравнение
или 
Тогда 
и 
Заметим, что переходы от уравнения (2) к уравнению (3) и далее к уравнению (4) не равносильны, хотя и не ведут к потере корней. Поэтому требуется непосредственная проверка для выявления посторонних корней.
Проверка. При 
левая часть уравнения (1) не определена, т. е. не удовлетворяют уравнению (1). При 
обе заданные функции определены. Установим значения обеих данных в условии функций при 
Таким образом, графики обеих функций имеют одну точку пересечения с абсциссой 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
тогда исходное неравенство можно переписать как 
или 
График квадратичной функции 
изображен на рисунке. Из неравенства 
получаем
имеет пустое множество решений. Неравенство 
можно записать как 
отсюда 
Она определена и непрерывна на ℝ. Найдем нули функции f(x). Пусть 
где 
тогда уравнение 
можно переписать так: 
Данное квадратное уравнение имеет два корня −4 и 1; 
не удовлетворяет условию 
удовлетворяет условию 
тогда и только тогда, когда 
значит, 0 — единственная точка возможной перемены знака функции f(x). Проверим знаки функции f(x) слева и справа от точки 
(см. рис.): 
и 
Поскольку мы решаем неравенство 
отсюда следует ответ.
Так как функция 9x возрастает на ℝ, и 
— тоже возрастает на ℝ, то их сумма 
возрастает на ℝ, 
Таким образом, при 
функция 
при 
имеем 
Это равенство при 
и 
невозможно, так как левая часть при всех 
и 
и 
тогда 
т. е. 
т. е. 
где точка пересечения 
получим 
Пусть 
где 
тогда 
т. е. 
имеем 
Получили точку 
касается графика функции 
во-вторых, производная функции 
в этой точке должна быть равна угловому коэффициенту прямой 
Это условие выражается уравнением 
или 
Составим систему уравнений
: 
принимает наибольшее значение? Найдите это значение.
имеем 
Таким образом
если 