Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3488
i

Ре­ши­те урав­не­ние  синус x минус синус 7x= ко­си­нус 4x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем дан­ное урав­не­ние:

 минус 2 ко­си­нус 3x ко­си­нус 4x минус ко­си­нус 4x=0 рав­но­силь­но ко­си­нус 4x левая круг­лая скоб­ка 2 синус 3x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 4x=0, синус 3x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 4x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,3x= левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни m левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс Пи m конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2n пра­вая круг­лая скоб­ка ,x= левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка m плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи m, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . n, m при­над­ле­жит Z .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2n пра­вая круг­лая скоб­ка ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 6m плюс левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка m плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка : n, m при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

За­ме­ча­ние. Уче­ник, ре­ша­ю­щий такую за­да­чу, со­вер­шен­но не обя­зан до­ка­зы­вать, что эти две серии кор­ней не имеют общих чисел. Если же на уроке такой во­прос при­дет­ся рас­смот­реть, то в дан­ном слу­чае, при­рав­ни­вая

 дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2n пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 6m плюс левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка m плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­лу­чим 9 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2n пра­вая круг­лая скоб­ка =4 левая круг­лая скоб­ка 6m плюс левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка m плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Это ра­вен­ство при n при­над­ле­жит Z и m при­над­ле­жит Z не­воз­мож­но, так как левая часть при всех n при­над­ле­жит Z   — не­чет­ное число, а пра­вая часть при любых целых m  — чет­ное число. Сле­до­ва­тель­но, обе серии кор­ней не пе­ре­се­ка­ют­ся. От­ме­тим также, что часто уче­ни­ки ре­ша­ют этот во­прос с по­мо­щью три­го­но­мет­ри­че­ско­го круга, что тоже впол­не до­пу­сти­мо.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3494

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 6, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 3 из 10