PDF-версии: 
Среди комплексных чисел z с аргументом 
найдите все такие, для которых 
где 
Решение. Такие комплексные числа имеют вид 
x > 0. Тогда
Следовательно, 
откуда
(x = 0 даст z = 0), в условие x > 0 подходит только x = 2. Итак, 
Ответ:
Приведем другое решение.
Запишем число z в тригонометрической форме:
Тогда
По условию задачи 
Так как z ≠ 0, то последнее равенство эквивалентно равенству |z|2 − 8 = 0. Таким образом, 
и z = 2 + 2i.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Если y = 2x, то второе уравнение дает
Эти числа подходят. Если x = 2y, то второе уравнение дает
тогда
не подходит из-за условия 
для которых выполняются два условия: на промежутке 
графики функций 
и 
не имеют общих точек и площадь фигуры, ограниченной этими графиками и прямыми 
и 
равна 1.
может быть записана как 
Пусть график первообразной лежит выше, чем график 
Найдем для этого случая площадь описанной в условии фигуры:
Проверим, действительно ли график найденной первообразной лежит выше графика функции f. Решим уравнение 
лежит выше графика функции. Теперь допустим, что график первообразной лежит ниже, чем график 
а на интервале (1; 2) справедливо неравенство 
Первообразная 
лежит ниже графика функции.
и, используя полученный результат, сравните числа 
равноудалены от осей координат?
и 
должны вместе иметь ровно три решения.
Функция 
имеет производную 
тогда производная в точке касания должна быть равна 1 — ее угловому коэффициенту. Возьмем производную:
то точка 
лежала на графике 
действительно имеет два корня — кратный корень 
и (по теореме Виета для кубического многочлена) 
то точка 
лежала на графике 
действительно имеет два корня — кратный корень 
и (по теореме Виета для кубического многочлена) 
Значит, эти случаи тоже подходят.
