Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2899
i

Най­ди­те все пер­во­об­раз­ные функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =6x минус 2, для ко­то­рых вы­пол­ня­ют­ся два усло­вия: на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка гра­фи­ки функ­ций f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка не имеют общих точек и пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной этими гра­фи­ка­ми и пря­мы­ми x=1 и x=2, равна 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Любая пер­во­об­раз­ная функ­ции 6x минус 2 может быть за­пи­са­на как 3x в квад­ра­те минус 2x плюс C. Пусть гра­фик пер­во­об­раз­ной лежит выше, чем гра­фик f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 6x минус 2. Най­дем для этого слу­чая пло­щадь опи­сан­ной в усло­вии фи­гу­ры:

 при­над­ле­жит t\limits_1 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 2x плюс C минус левая круг­лая скоб­ка 6x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = при­над­ле­жит t\limits_1 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 8x плюс C плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 4x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка C плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка |_1 в квад­ра­те =
= 8 минус 4 умно­жить на 4 плюс 2 левая круг­лая скоб­ка C плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 плюс 4 умно­жить на 1 в квад­ра­те минус 1 левая круг­лая скоб­ка C плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = 8 минус 16 плюс левая круг­лая скоб­ка C плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 плюс 4 = C минус 3.

По усло­вию, эта пло­щадь равна 1, сле­до­ва­тель­но, C  =  4, а F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 3x в квад­ра­те минус 2x плюс 4. Про­ве­рим, дей­стви­тель­но ли гра­фик най­ден­ной пер­во­об­раз­ной лежит выше гра­фи­ка функ­ции f. Решим урав­не­ние

3x в квад­ра­те минус 2x плюс 4=6x минус 2 рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те минус 8x плюс 6=0,

D=64 минус 4 умно­жить на 3 умно­жить на 6=64 минус 72 мень­ше 0.

Зна­чит, пе­ре­се­че­ний нет,

3x в квад­ра­те минус 8x плюс 6 боль­ше 0 рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те минус 2x плюс 4 боль­ше 6x минус 2.

Пер­во­об­раз­ная F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 3x в квад­ра­те минус 2x плюс 2 лежит выше гра­фи­ка функ­ции. Те­перь до­пу­стим, что гра­фик пер­во­об­раз­ной лежит ниже, чем гра­фик f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 6x минус 2. Тогда по усло­вию

 при­над­ле­жит t\limits_1 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 6x минус 2 минус левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 2x плюс C пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = при­над­ле­жит t\limits_1 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 8x плюс C плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 4x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка C плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка |_1 в квад­ра­те =
= 8 минус 4 умно­жить на 4 плюс 2 левая круг­лая скоб­ка C плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 плюс 4 умно­жить на 1 в квад­ра­те минус 1 левая круг­лая скоб­ка C плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = 8 минус 16 плюс левая круг­лая скоб­ка C плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 плюс 4 = C минус 1.

Тогда C  =  1. Про­ве­рим, как рас­по­ло­же­ны гра­фи­ки в этом слу­чае. Решим урав­не­ние:

3x в квад­ра­те минус 2x плюс 2=6x минус 2 рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те минус 8x плюс 4=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Это урав­не­ние имеет корни x  =  2 и x= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , а на ин­тер­ва­ле (1; 2) спра­вед­ли­во не­ра­вен­ство 3x в квад­ра­те минус 2x плюс 4 мень­ше 6x минус 2. Пер­во­об­раз­ная F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 3x в квад­ра­те минус 2x плюс 2, лежит ниже гра­фи­ка функ­ции.

 

Ответ: F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 3x в квад­ра­те минус 2x плюс 2, F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 3x в квад­ра­те минус 2x плюс 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2905

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2001 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей , На­хож­де­ние пер­во­об­раз­ных, При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 8 из 10