№ 2901 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 31. Задачи с параметром (без производной)
i
При каких значениях параметра a ровно три точки графика функции 
равноудалены от осей координат?
Решение. 
Точки, равноудаленные от осей координат, лежат на прямых y = x или y = −x. Значит, уравнения 
и 
должны вместе иметь ровно три решения.
Если у них есть общее решение, то для него x = −x, поэтому x = 0 и a = 0. Разберем этот случай.
у второго множителя нет корней. Итого получилось ровно три точки. В остальных случаях эти решения различны. Поскольку кубическое уравнение всегда имеет корень, одно из них должно иметь один корень, а другое два.
Второе уравнение сводится к 
Функция 
имеет производную
и поэтому всюду возрастает. Значит, такое уравнение всегда имеет ровно один корень. Тогда два корня должно быть у первого уравнения. График кубического многочлена может пересекать прямую ровно два раза только если эта прямая является к нему касательной. Пусть y = x касается 
тогда производная в точке касания должна быть равна 1 — ее угловому коэффициенту. Возьмем производную:
Если 
то точка 
лежала на графике откуда
Уравнение 
действительно имеет два корня — кратный корень 
и (по теореме Виета для кубического многочлена) 
Если 
то точка 
лежала на графике откуда
Уравнение 
действительно имеет два корня — кратный корень 
и (по теореме Виета для кубического многочлена) 
Значит, эти случаи тоже подходят.
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Задание парного варианта: 2907
