Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2898
i

Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний  си­сте­ма вы­ра­же­ний \log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 11 минус 2x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2y в квад­ра­те минус 5xy плюс 11 пра­вая круг­лая скоб­ка , \log _yx в кубе плюс \log _2xy минус 5=0. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пер­вое урав­не­ние дает

11 минус 2x в квад­ра­те =2y в квад­ра­те минус 5xy плюс 11 рав­но­силь­но 2y в квад­ра­те минус 5xy плюс 2x в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2y минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка y минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний y=2x,y= дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

При этом еще долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие 11 минус 2x в квад­ра­те боль­ше 0. Если y  =  2x, то вто­рое урав­не­ние дает

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка 2x минус 5=0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс 1 минус 5=0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка x в кубе =4 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 =x в кубе рав­но­силь­но 16x в сте­пе­ни 4 =x в кубе рав­но­силь­но x в кубе левая круг­лая скоб­ка 16x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Далее, по­лу­ча­ем x  =  0 (не­воз­мож­но из-за ОДЗ вто­ро­го урав­не­ния) или x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби , y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . Эти числа под­хо­дят. Если x  =  2y, то вто­рое урав­не­ние дает

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка 8y в кубе плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 4y пра­вая круг­лая скоб­ка y минус 5=0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка 8 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию y y в кубе плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 4y пра­вая круг­лая скоб­ка y минус 5=0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию y 2 плюс 3 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию y 4y конец дроби минус 5=0 рав­но­силь­но 3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию y 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию y 4 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию y y конец дроби =2 рав­но­силь­но 3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию y 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию y 2 плюс 1 конец дроби =2.

Пусть  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию y 2=t, тогда

3t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2t плюс 1 конец дроби =2 рав­но­силь­но 3t левая круг­лая скоб­ка 2t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1=2 левая круг­лая скоб­ка 2t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 6t в квад­ра­те плюс 3t плюс 1=4t плюс 2 рав­но­силь­но 6t в квад­ра­те минус t минус 1=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 3t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Сде­лав об­рат­ную за­ме­ну, по­лу­ча­ем

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию y 2= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , ло­га­рифм по ос­но­ва­нию y 2= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус \tfrac1 пра­вая круг­лая скоб­ка 3=2,y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac12 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний y=4,x=8. конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Ва­ри­ант  си­сте­ма вы­ра­же­ний y=4,x=8 конец си­сте­мы . не под­хо­дит из-за усло­вия 11 минус 2x в квад­ра­те боль­ше 0. Вто­рой ва­ри­ант под­хо­дит.

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2904

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2001 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы
?
Сложность: 7 из 10