Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2896
i

Среди ком­плекс­ных чисел z с ар­гу­мен­том  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби най­ди­те все такие, для ко­то­рых \text Im левая круг­лая скоб­ка 8z минус z в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка =0, где z не равно 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Такие ком­плекс­ные числа имеют вид z=x плюс xi=x левая круг­лая скоб­ка 1 плюс i пра­вая круг­лая скоб­ка , x > 0. Тогда

8z минус z в кубе =8 левая круг­лая скоб­ка x плюс xi пра­вая круг­лая скоб­ка минус x в кубе левая круг­лая скоб­ка 1 плюс i пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе =8x плюс 8xi минус x в кубе левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 3i плюс 3i в квад­ра­те плюс i в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка =
=8x плюс 8xi минус x в кубе левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 3i минус 3 минус i пра­вая круг­лая скоб­ка =8x плюс 8xi минус x в кубе левая круг­лая скоб­ка минус 2 плюс 2i пра­вая круг­лая скоб­ка =8x плюс 8xi плюс 2x в кубе минус 2ix в кубе .

Сле­до­ва­тель­но, Im левая круг­лая скоб­ка 8z минус z в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка =8x минус 2x в кубе =0, от­ку­да

2x в кубе минус 8x=0 рав­но­силь­но 2x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но x=\pm 2,

(x  =  0 даст z  =  0), в усло­вие x > 0 под­хо­дит толь­ко x  =  2. Итак, z=2 плюс 2i.

 

Ответ: z=2 плюс 2i.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

За­пи­шем число z в три­го­но­мет­ри­че­ской форме:

z=|z| левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =|z| левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс i дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Тогда

z в кубе =|z| в кубе левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =|z| в кубе левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс i дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,

8z минус z в кубе = левая круг­лая скоб­ка 4|z| ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: |z| в кубе ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс i левая круг­лая скоб­ка 4|z| ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: |z| в кубе ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

По усло­вию за­да­чи 4|a| ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: |z| в кубе ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0. Так как z ≠ 0, то по­след­нее ра­вен­ство эк­ви­ва­лент­но ра­вен­ству |z|2 − 8  =  0. Таким об­ра­зом, |z|=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та и z  =  2 + 2i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2902

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2001 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Урав­не­ния с ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми и их си­сте­мы
?
Сложность: 5 из 10