PDF-версии: 
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
Решение. Пусть
Определим функцию 
Нулями функции 
являются числа 
и 
Отсюда следует что графики функций f(x) и g(x) пересекаются только в двух точках, и фигура расположена «над» отрезком 
оси x. Применим метод интервалов к функции (см. рис.). Из рисунка видно, что
на отрезке 
следовательно, здесь 
Поэтому площадь фигуры равна
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при которых 
при этом 
и 
и 
получим
и подставим во второе 
и 
Возвращаясь к переменным p и q, получаем совокупность двух систем уравнений
— решение первой системы содержит отрицательную компоненту, что не удовлетворяет условию 
Имеем:
равносильно следующему 
и 
а 
при 
мы получаем решения исходного неравенства.
Если 
то 
Поэтому достаточно решить исходное уравнение для 
Имеем:
Обоснуем расположение точек на окружности: так как 
то 
принадлежащее дуге X и удовлетворяющее условию 
есть 
а для уравнения 
это 
Так как 
и 
то
не выполняется). Далее, 
откуда следует, что 
и условие 
значит, 
При 
то есть 
и среди чисел 
тогда 
При 
значит, 
Поскольку 
То есть 
удовлетворяет уравнению. При 
так как 
найдется решение 
с аргументом 
с аргументом
имеет равные по модулю действительную и мнимую части, при этом 
и 
Отсюда следует, что любое такое число имеет вид 
при 
то 
и 
Из исходного уравнения получаем 
— см. рис.).
высекают на оси абсцисс отрезок длины 
— искомая точка оси Oy, при 
Найдем точку N на графике функции с абсциссой 
такую, что она является точкой касания касательной и графика. Производная данной функции есть 
Нетрудно видеть, что уравнение касательной NM
Из (1) следует, что 
и 
где в силу (2) и (4)
а его длина есть 
не удовлетворяет условию задачи).
— искомая точка, 
(при этом k \ne 0, — касательная должна пересекать ось абсцисс). Поскольку график данной функции гипербола, воспользуемся следующим фактом: любая наклонная касательная к гиперболе 
имеет с совокупностью ее обеих ветвей единственную общую точку — точку касания. Отсюда следует, что следующее уравнение имеет единственное решение по x
По теореме Виета
— числа одного знака и положительны. Если 
или 
то уравнение (1) имеет единственный корень (абсцисса вершины параболы) 
причем 
(в чем легко убедиться подстановкой 
в левую часть (1)), поэтому условие (2) выполняется.
имеются две различные касательные к графику исходной функции, проходящие через точку 
точки пересечения определяется из уравнения 
уравнение касательной
Высекаемый на оси абсцисс отрезок имеет длину
а это уравнение из первого способа решения.