Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2689
i

Ре­ши­те урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус x минус ко­си­нус 2x плюс ко­си­нус конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби =0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Оче­вид­но,  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби мень­ше или равно 0. Если x боль­ше 2, то \abs дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби ,  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби = ко­си­нус \abs дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше 0. По­это­му до­ста­точ­но ре­шить ис­ход­ное урав­не­ние для |x| мень­ше или равно 2. Имеем:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x минус ко­си­нус 2x плюс ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби = ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби , ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби мень­ше или равно 0, |x| мень­ше или равно 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 синус в квад­ра­те x плюс синус x минус 1=0, ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби мень­ше или равно 0, |x| мень­ше или равно 0. конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x= минус 1, синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби мень­ше или равно 0, |x| мень­ше или равно 0. конец со­во­куп­но­сти .

Рас­смот­рим три­го­но­мет­ри­че­скую окруж­ность (см. ри­су­нок) и вы­де­лим на ней дугу X, от­ве­ча­ю­щую углам x, удо­вле­тво­ря­ю­щим усло­вию |x| мень­ше или равно 0. Обос­ну­ем рас­по­ло­же­ние точек на окруж­но­сти: так как 3,2 боль­ше Пи боль­ше 3,1, то

 дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 6,2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби боль­ше 2; 2 боль­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Мы видим, что един­ствен­ное ре­ше­ние урав­не­ния  синус x= минус 1, при­над­ле­жа­щее дуге X и удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию |x| мень­ше или равно 0 есть x_1= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , а для урав­не­ния  синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби это x_2= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . Так как  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x_1 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби и 3,1 мень­ше Пи мень­ше 3,2, то

 дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3,2 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3,1 конец дроби рав­но­силь­но 1,25 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби мень­ше 1,3 мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Тогда

 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x_1 конец дроби = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0

(усло­вие  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби мень­ше или равно 0 не вы­пол­ня­ет­ся). Далее,

 дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби : 3,75 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби мень­ше 3,9,  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 9,3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 3,9,

то есть  Пи мень­ше дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да сле­ду­ет, что  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x_2 конец дроби мень­ше 0, и усло­вие  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби мень­ше или равно 0 вы­пол­ня­ет­ся.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Имеем:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус x минус ко­си­нус 2x плюс ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби конец ар­гу­мен­та = минус ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби \Rightarrow си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x минус ко­си­нус 2x=0, ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби мень­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

Решим пер­вое урав­не­ние си­сте­мы

 синус x минус 1 плюс 2 синус в квад­ра­те x=0 рав­но­силь­но 2 синус в квад­ра­те x плюс синус x минус 1=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x= минус 1, синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

и рас­смот­рим два слу­чая.

1 слу­чай:  синус x= минус 1, тогда x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z , зна­чит,  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: Пи левая круг­лая скоб­ка 4k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби . При k при­над­ле­жит Z : |4k минус 1| боль­ше или равно 1, то есть

\abs дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: Пи левая круг­лая скоб­ка 4k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

тогда  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше 0 и среди чисел x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z , нет ре­ше­ний на­ше­го урав­не­ния.

2 слу­чай:  синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , тогда x= левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни n дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z . При n=0: x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , зна­чит,  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби . По­сколь­ку  Пи мень­ше дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби мень­ше 0. То есть x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию. При n не равно 0:  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше 0, так как

\abs дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби =\abs дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: Пи левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни n плюс 6n пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 Пи конец дроби ; 0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 Пи конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2682

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния , Урав­не­ния и не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
?
Сложность: 8 из 10