Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2689

Решите уравнение  корень из ( синус x минус косинус 2x плюс косинус ) в квадрате дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби =0.

Спрятать решение

Решение.

Очевидно,  косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 0. Если x больше 2, то \abs дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби ,  косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби = косинус \abs дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби больше 0. Поэтому достаточно решить исходное уравнение для |x| меньше или равно 2. Имеем:

 система выражений синус x минус косинус 2x плюс косинус в квадрате дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби = косинус в квадрате дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби , косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 0, |x| меньше или равно 2 конец системы . равносильно система выражений 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1=0, косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 0, |x| меньше или равно 0. конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений синус x= минус 1, синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 0, |x| меньше или равно 0. конец совокупности .

Рассмотрим тригонометрическую окружность (см. рисунок) и выделим на ней дугу X, отвечающую углам x, удовлетворяющим условию |x| меньше или равно 0. Обоснуем расположение точек на окружности: так как 3,2 больше Пи больше 3,1, то

 дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 6,2, знаменатель: 3 конец дроби больше 2; 2 больше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Мы видим, что единственное решение уравнения  синус x= минус 1, принадлежащее дуге X и удовлетворяющее условию |x| меньше или равно 0 есть x_1= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , а для уравнения  синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби это x_2= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби . Так как  дробь: числитель: 2, знаменатель: x_1 конец дроби = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: Пи конец дроби и 3,1 меньше Пи меньше 3,2, то

 дробь: числитель: 4, знаменатель: 3,2 конец дроби меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: Пи конец дроби меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3,1 конец дроби равносильно 1,25 меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: Пи конец дроби меньше 1,3 меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Тогда

 косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x_1 конец дроби = косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: Пи конец дроби правая круглая скобка = косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: Пи конец дроби правая круглая скобка больше 0

(условие  косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 0 не выполняется). Далее,

 дробь: числитель: 2, знаменатель: x_1 конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: Пи конец дроби : 3,75 меньше дробь: числитель: 12, знаменатель: Пи конец дроби меньше 3,9,  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби больше дробь: числитель: 9,3, знаменатель: 2 конец дроби больше 3,9,

то есть  Пи меньше дробь: числитель: 12, знаменатель: Пи конец дроби меньше дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , откуда следует, что  косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x_2 конец дроби меньше 0, и условие  косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 0 выполняется.

 

Ответ: \left\ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби \.

 

Приведем другое решение.

Имеем:

 корень из ( синус x минус косинус 2x плюс косинус в квадрате дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби ) = минус косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби \Rightarrow система выражений синус x минус косинус 2x=0, косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 0. конец системы .

Решим первое уравнение системы

 синус x минус 1 плюс 2 синус в квадрате x=0 равносильно 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1=0 равносильно совокупность выражений синус x= минус 1, синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

и рассмотрим два случая.

1 случай:  синус x= минус 1, тогда x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z , значит,  косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби = косинус дробь: числитель: 4, знаменатель: Пи (4k минус 1) конец дроби . При k принадлежит Z : |4k минус 1| больше или равно 1, то есть

\abs дробь: числитель: 4, знаменатель: Пи (4k минус 1) конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: Пи конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 8, знаменатель: Пи конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,

тогда  косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби больше 0 и среди чисел x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z , нет решений нашего уравнения.

2 случай:  синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , тогда x=( минус 1) в степени n дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z . При n=0: x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби , значит,  косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби = косинус дробь: числитель: 12, знаменатель: Пи конец дроби . Поскольку  Пи меньше дробь: числитель: 12, знаменатель: Пи конец дроби меньше дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , то  косинус дробь: числитель: 12, знаменатель: Пи конец дроби меньше 0. То есть x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби удовлетворяет уравнению. При n не равно 0:  косинус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби больше 0, так как

\abs дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби =\abs дробь: числитель: 12, знаменатель: Пи (( минус 1) в степени n плюс 6n) конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 Пи конец дроби ; 0 меньше дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 Пи конец дроби меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: \left\ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2682

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1995 год, работа 4, вариант 2
? Классификатор: Иррациональные уравнения и их системы, Тригонометрические уравнения , Уравнения и неравенства смешанного типа
?
Сложность: 8 из 10