№ 2689 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 12. Комбинированные уравнения и неравенства
i
Решите уравнение 
Спрятать решениеРешение. Очевидно,
Если
то
Поэтому достаточно решить исходное уравнение для
Имеем:


Рассмотрим тригонометрическую окружность (см. рисунок) и выделим на ней дугу X, отвечающую углам x, удовлетворяющим условию
Обоснуем расположение точек на окружности: так как
то

Мы видим, что единственное решение уравнения
принадлежащее дуге X и удовлетворяющее условию
есть
а для уравнения
это
Так как
и
то

Тогда

(условие

не выполняется). Далее,

то есть

откуда следует, что

и условие

выполняется.
Ответ: 
Приведем другое решение.
Имеем:

Решим первое уравнение системы

и рассмотрим два случая.
1 случай:
тогда
значит,
При
то есть

тогда

и среди чисел

нет решений нашего уравнения.
2 случай:
тогда
При
значит,
Поскольку
то
То есть
удовлетворяет уравнению. При
так как

Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ:

Задание парного варианта: 2682