Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2685

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=4x в квадрате минус 3x минус 1 и y=x в кубе плюс x минус 1.

Спрятать решение

Решение.

Пусть

f(x)=4x в квадрате минус 3x минус 1,

g(x)=x в кубе плюс x минус 1.

Определим функцию h(x)=g(x) минус f(x):

h(x)=x в кубе минус 4x в квадрате плюс 4x=x(x минус 2) в квадрате .

Нулями функции h(x) являются числа x=0 и x=2. Отсюда следует что графики функций f(x) и g(x) пересекаются только в двух точках, и фигура расположена «над» отрезком [0; 2] оси x. Применим метод интервалов к функции h(x) (см. рис.). Из рисунка видно, что h(x) больше 0 на отрезке [0;2], следовательно, здесь g(x) больше f(x). Поэтому площадь фигуры равна

 S = принадлежит t \limits_0 в квадрате h(x) dx = принадлежит t \limits_0 в квадрате левая круглая скобка x в кубе минус 4x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка dx = \left. \vphantom дробь: числитель: 0, знаменатель: 0 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс 2x в квадрате правая круглая скобка | \limits_0 в квадрате = 4 минус дробь: числитель: 32, знаменатель: 3 конец дроби плюс 8= целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 .

 

Ответ:  дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2676

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1995 год, работа 4, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 5 из 10