Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2691

Укажите координаты всех точек оси Oy, имеющих положительные ординаты, обладающие тем свойством, что касательные, проведенные через каждую из таких точек к графику функции y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби , высекают на оси абсцисс отрезок длины  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Пусть M(0; t) — искомая точка оси Oy, при t больше 0. Найдем точку N на графике функции с абсциссой x_0, такую, что она является точкой касания касательной и графика. Производная данной функции есть y'= дробь: числитель: 1, знаменатель: (x плюс 1) в квадрате конец дроби . Нетрудно видеть, что уравнение касательной NM

y= дробь: числитель: 1, знаменатель: (x_0 плюс 1) в квадрате конец дроби x плюс t. \qquad(1)

Обозначим точку пересечения касательной с осью Ox через K(u;0). Из (1) следует, что

u= минус t(x_0 плюс 1) в квадрате . \qquad(2)

Поскольку точка N находится на графике данной функции, то

 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x_0 плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: (x_0 плюс 1) в квадрате конец дроби x_0 плюс t. \qquad(3)

Так как, в силу (2) нам достаточно знать величину

s=x_0 плюс 1, \qquad(4)

найдем из (3) эту величину

 дробь: числитель: 2x_0 плюс 1, знаменатель: (x_0 плюс 1) в квадрате конец дроби плюс t=0 равносильно дробь: числитель: 2s минус 1, знаменатель: s в квадрате конец дроби плюс t=0 равносильно ts в квадрате плюс 2s минус 1=0(s не равно 0);

 дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби =1 плюс t больше 0 (t больше 0): s_1,2= дробь: числитель: минус 1\pm корень из (t плюс 1) , знаменатель: t конец дроби (s_1,2 не равно 0).

Таким образом, при любом t>0 имеются две касательные, пересекающие ось Ox в соответствующих точках K_1(u_1;0) и K_2(u_2;0), где в силу (2) и (4)

u_1,2= минус дробь: числитель: (1 \pm корень из (t плюс 1) ) в квадрате , знаменатель: t конец дроби .

(Факт наличия двух касательных легко подтверждается геометрически, с помощью графика функции).

Высекаемый на оси абсцисс отрезок K_1K_2, а его длина есть

\absK_1K_2=\absu_1 минус u_2= дробь: числитель: (1 плюс корень из (t плюс 1) ) в квадрате , знаменатель: t конец дроби минус дробь: числитель: (1 минус корень из (t плюс 1) ) в квадрате , знаменатель: t конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби умножить на 2 умножить на 2 корень из (t плюс 1) = дробь: числитель: 4 корень из (t плюс 1) , знаменатель: t конец дроби

(проще всего воспользоваться формулой разности квадратов). По условию

 дробь: числитель: 4 корень из (t плюс 1) , знаменатель: t конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 8 корень из (t плюс 1) =3t равносильно 9t в квадрате минус 64t минус 64=0 равносильно совокупность выражений t= минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби ,t=8 конец совокупности .

(значение t= минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби не удовлетворяет условию задачи).

 

Ответ: M(0;8).

 

Приведем другое решение.

В данном способе производная не используется. Пусть M(0;t) — искомая точка, t больше 0. Уравнение касательной к графику данной функции, проходящей через точку M, есть y=kx плюс t (при этом k \ne 0, — касательная должна пересекать ось абсцисс). Поскольку график данной функции гипербола, воспользуемся следующим фактом: любая наклонная касательная к гиперболе y= дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: cx плюс d конец дроби имеет с совокупностью ее обеих ветвей единственную общую точку — точку касания. Отсюда следует, что следующее уравнение имеет единственное решение по x

kx плюс t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби равносильно система выражений kx в квадрате плюс (k плюс 1)x плюс t плюс 1=0, \qquad(1) x не равно минус 1. \qquad(2) конец системы .

Дискриминант квадратного уравнение (1)

D_x=(k плюс t) в квадрате минус 4k(t плюс 1)=k в квадрате минус 2(t плюс 2)k плюс t в квадрате .

Критерий единственного решения квадратного уравнения — равенство нулю дискриминанта:

k в квадрате минус 2(t плюс 2)k плюс t в квадрате =0. \qquad(3)

Решим квадратное уравнение (3) — относительно неизвестного k

 дробь: числитель: D_k, знаменатель: 4 конец дроби =(t плюс 2) в квадрате минус t в квадрате минус t в квадрате =4(t плюс 1) больше 0 (t больше 0),

k_1=t плюс 2 минус 2 корень из (t плюс 1) , k_2=t плюс 2 плюс 2 корень из (t плюс 1) .

Ясно, что k_1 меньше k_2. По теореме Виета

k_1k_2=t в квадрате больше 0, k_1 плюс k_2=2(t плюс 2) больше 0,

откуда следует, что k_1,k_2 — числа одного знака и положительны. Если k=k_1 или k=k_2, то уравнение (1) имеет единственный корень (абсцисса вершины параболы) x_0= минус дробь: числитель: k плюс 1, знаменатель: 2k конец дроби , причем x_0 не равно минус 1 (в чем легко убедиться подстановкой x= минус 1 в левую часть (1)), поэтому условие (2) выполняется.

Таким образом, при любом t больше 0 имеются две различные касательные к графику исходной функции, проходящие через точку M(0;t).

а) При k=k_1 уравнение касательной есть

y = (t плюс 2 минус 2 корень из (t плюс 1) )x плюс t.

Касательная пересекает Ox, причем координата x=x_1 точки пересечения определяется из уравнения

(t плюс 2 минус 2 корень из (t плюс 1) )x плюс t=0; x_1= минус дробь: числитель: t, знаменатель: t плюс 2 минус 2 корень из (t плюс 1) конец дроби .

б) При k=k_2 уравнение касательной

y=(t плюс 2 плюс 2 корень из (t плюс 1) )x плюс t,

она пересекает ось Ox в точке с координатой

x_2= минус дробь: числитель: t, знаменатель: t плюс 2 плюс 2 корень из (t плюс 1) конец дроби .

Очевидно, при t больше 0: x_1 меньше x_2. Высекаемый на оси абсцисс отрезок имеет длину

x_2 минус x_1=t левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: t плюс 2 минус 2 корень из (t плюс 1) конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t плюс 2 плюс 2 корень из (t плюс 1) конец дроби правая круглая скобка =t умножить на дробь: числитель: 4 корень из (t плюс 1) , знаменатель: t в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 4 корень из (t плюс 1) , знаменатель: t конец дроби .

По условию  дробь: числитель: 4 корень из (t плюс 1) , знаменатель: t конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а это уравнение из первого способа решения.

 

Ответ: M(0;8).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2686

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1995 год, работа 4, вариант 2
? Классификатор: Касательная к графику функции
?
Сложность: 10 из 10