Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2691
i

Ука­жи­те ко­ор­ди­на­ты всех точек оси Oy, име­ю­щих по­ло­жи­тель­ные ор­ди­на­ты, об­ла­да­ю­щие тем свой­ством, что ка­са­тель­ные, про­ве­ден­ные через каж­дую из таких точек к гра­фи­ку функ­ции y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби , вы­се­ка­ют на оси абс­цисс от­ре­зок длины дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть M левая круг­лая скоб­ка 0; t пра­вая круг­лая скоб­ка   — ис­ко­мая точка оси Oy, при t боль­ше 0. Най­дем точку N на гра­фи­ке функ­ции с абс­цис­сой x_0, такую, что она яв­ля­ет­ся точ­кой ка­са­ния ка­са­тель­ной и гра­фи­ка. Про­из­вод­ная дан­ной функ­ции есть y'= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби . Не­труд­но ви­деть, что урав­не­ние ка­са­тель­ной NM

y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x_0 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби x плюс t. \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

Обо­зна­чим точку пе­ре­се­че­ния ка­са­тель­ной с осью Ox через K левая круг­лая скоб­ка u;0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Из (1) сле­ду­ет, что

u= минус t левая круг­лая скоб­ка x_0 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те . \qquad левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

По­сколь­ку точка N на­хо­дит­ся на гра­фи­ке дан­ной функ­ции, то

минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_0 плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x_0 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби x_0 плюс t. \qquad левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка

Так как, в силу (2) нам до­ста­точ­но знать ве­ли­чи­ну

s=x_0 плюс 1, \qquad левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка

най­дем из (3) эту ве­ли­чи­ну

дробь: чис­ли­тель: 2x_0 плюс 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x_0 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби плюс t=0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2s минус 1, зна­ме­на­тель: s в квад­ра­те конец дроби плюс t=0 рав­но­силь­но ts в квад­ра­те плюс 2s минус 1=0 левая круг­лая скоб­ка s не равно 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ;

дробь: чис­ли­тель: D, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =1 плюс t боль­ше 0 левая круг­лая скоб­ка t боль­ше 0 пра­вая круг­лая скоб­ка : s_1,2= дробь: чис­ли­тель: минус 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: t конец дроби левая круг­лая скоб­ка s_1,2 не равно 0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Таким об­ра­зом, при любом t>0 име­ют­ся две ка­са­тель­ные, пе­ре­се­ка­ю­щие ось Ox в со­от­вет­ству­ю­щих точ­ках K_1 левая круг­лая скоб­ка u_1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка и K_2 левая круг­лая скоб­ка u_2;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , где в силу (2) и (4)

u_1,2= минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: t конец дроби .

(Факт на­ли­чия двух ка­са­тель­ных легко под­твер­жда­ет­ся гео­мет­ри­че­ски, с по­мо­щью гра­фи­ка функ­ции).

Вы­се­ка­е­мый на оси абс­цисс от­ре­зок K_1K_2, а его длина есть

\absK_1K_2=\absu_1 минус u_2= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: t конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: t конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: t конец дроби

(проще всего вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой раз­но­сти квад­ра­тов). По усло­вию

дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: t конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та =3t рав­но­силь­но 9t в квад­ра­те минус 64t минус 64=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ,t=8 конец со­во­куп­но­сти .

(зна­че­ние t= минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи).

 

Ответ: M левая круг­лая скоб­ка 0;8 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

В дан­ном спо­со­бе про­из­вод­ная не ис­поль­зу­ет­ся. Пусть M левая круг­лая скоб­ка 0;t пра­вая круг­лая скоб­ка   — ис­ко­мая точка, t боль­ше 0. Урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку дан­ной функ­ции, про­хо­дя­щей через точку M, есть y=kx плюс t (при этом k \ne 0,  — ка­са­тель­ная долж­на пе­ре­се­кать ось абс­цисс). По­сколь­ку гра­фик дан­ной функ­ции ги­пер­бо­ла, вос­поль­зу­ем­ся сле­ду­ю­щим фак­том: любая на­клон­ная ка­са­тель­ная к ги­пер­бо­ле y= дробь: чис­ли­тель: ax плюс b, зна­ме­на­тель: cx плюс d конец дроби имеет с со­во­куп­но­стью ее обеих вет­вей един­ствен­ную общую точку  — точку ка­са­ния. От­сю­да сле­ду­ет, что сле­ду­ю­щее урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние по x

kx плюс t= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний kx в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс t плюс 1=0, \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x не равно минус 1. \qquad левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы .

Дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го урав­не­ние (1)

D_x= левая круг­лая скоб­ка k плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4k левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =k в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка k плюс t в квад­ра­те .

Кри­те­рий един­ствен­но­го ре­ше­ния квад­рат­но­го урав­не­ния  — ра­вен­ство нулю дис­кри­ми­нан­та:

k в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка k плюс t в квад­ра­те =0. \qquad левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка

Решим квад­рат­ное урав­не­ние (3)  — от­но­си­тель­но не­из­вест­но­го k

дробь: чис­ли­тель: D_k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус t в квад­ра­те минус t в квад­ра­те =4 левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 левая круг­лая скоб­ка t боль­ше 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

k_1=t плюс 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та , k_2=t плюс 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та .

Ясно, что k_1 мень­ше k_2. По тео­ре­ме Виета

k_1k_2=t в квад­ра­те боль­ше 0, k_1 плюс k_2=2 левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0,

от­ку­да сле­ду­ет, что k_1,k_2  — числа од­но­го знака и по­ло­жи­тель­ны. Если k=k_1 или k=k_2, то урав­не­ние (1) имеет един­ствен­ный ко­рень (абс­цис­са вер­ши­ны па­ра­бо­лы) x_0= минус дробь: чис­ли­тель: k плюс 1, зна­ме­на­тель: 2k конец дроби , при­чем x_0 не равно минус 1 (в чем легко убе­дить­ся под­ста­нов­кой x= минус 1 в левую часть (1)), по­это­му усло­вие (2) вы­пол­ня­ет­ся.

Таким об­ра­зом, при любом t боль­ше 0 име­ют­ся две раз­лич­ные ка­са­тель­ные к гра­фи­ку ис­ход­ной функ­ции, про­хо­дя­щие через точку M левая круг­лая скоб­ка 0;t пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  При k=k_1 урав­не­ние ка­са­тель­ной есть

y = левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс t.

Ка­са­тель­ная пе­ре­се­ка­ет Ox, при­чем ко­ор­ди­на­та x=x_1 точки пе­ре­се­че­ния опре­де­ля­ет­ся из урав­не­ния

левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс t=0; x_1= минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: t плюс 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

б)  При k=k_2 урав­не­ние ка­са­тель­ной

y= левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс t,

она пе­ре­се­ка­ет ось Ox в точке с ко­ор­ди­на­той

x_2= минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: t плюс 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Оче­вид­но, при t боль­ше 0: x_1 мень­ше x_2. Вы­се­ка­е­мый на оси абс­цисс от­ре­зок имеет длину

x_2 минус x_1=t левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t плюс 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t плюс 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =t умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: t конец дроби .

По усло­вию дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: t конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , а это урав­не­ние из пер­во­го спо­со­ба ре­ше­ния.

 

Ответ: M левая круг­лая скоб­ка 0;8 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2686

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции
?
Сложность: 10 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025