PDF-версии: 
Найдите все комплексные числа, удовлетворяющие двум условиям: 
и 
Решение. Пусть 
тогда 
и
Ответ: 
Приведем другое решение.
Представим искомое число z в тригонометрической форме:
— аргумент числа z. При этом, поскольку 
и 
то 
По формуле Муавра: 
То есть при возведении в квадрат, аргумент удваивается (см. рис.). При этом мы получаем число
а аргумент 
удовлетворяет условиям 
и 
причем достаточно положить 
— угол первой четверти. Отсюда следует, что 
то есть 
и, поскольку аргумент комплексного числа определен с точностью до слагаемого, кратного 
то
Рассматривая случаи четных и нечетных значений целого числа n, получаем всего две возможности (с точностью до 
) для аргумента комплексного числа z
Поскольку — угол первой четверти, то и угол 
тоже находится в первой четверти. Поэтому в случае 
не выполняется условие А в случае 
условие 
выполняется, и мы получаем
Ответ:
Рассмотренный второй способ является громоздким, хотя в нем и реализуется простая геометрическая идея, связанная с возведением в квадрат комплексного числа.
Приведем еще одно решение.
Преобразуем правую часть исходного уравнения
Отсюда 
и 
не удовлетворяет условию задачи, а 
— удовлетворяет.
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
то 
Отсюда
и тем более 
Так как 
то 
Отсюда 
или 
и выполняется более общее неравенство 
и 
Подставим эти значение в исходное уравнение Имеем:
4x^2=1 и левая часть исходного уравнения не определена.
и 
Подставим эти значение в исходное уравнение Имеем:
откуда 
и выражение (1) можно записать в виде
и левая часть исходного уравнения не определена. 
и получить из исходного следующее уравнение 
и одновременно определена функция 
то есть 
и 
откуда получаем объединение двух полуинтервалов 
— поскольку длина отрезка 
равна 3 и меньше 
или 
исходное неравенство выполняется. Рассмотрим множество 
Здесь 
поэтому можно разделить обе части неравенства на этот множитель. Имеем:
Применим метод интервалов к функции 
на тригонометрической окружности (см. рис.). Обоснуем расположение точек на окружности.
то 
и 
Кроме того, 
поэтому 
Имеем:
Поскольку каждый сомножитель в выражении функции 
имеющая с графиком ровно две общие точки? Если да, то напишите ее уравнение.
а правосторонняя производная имеет другое значение: 
поэтому производная при x=0 не существует. Следовательно, точка 
графика функции (начало координат) не может быть точкой касания искомой прямой и графика.
которая является общей касательной парабол (1) и (2). Касательная имеет с параболой единственную общую точку — точку касания (см. замечание к решению задания 5 варианта 1), поэтому каждое из следующих двух уравнений имеет единственное решение:
При этом уравнения (3) и (4) имеют соответствующие (единственные) решения 
Следовательно, найденная прямая является решением задачи. На этом решение можно закончить. Ответ положительный. 
имеющую с параболой 
единственную общую точку, называемую точкой касания.
проходящей через точку касания с абсциссой 
Запишем уравнение прямой в виде 
Подставляя значение 
получаем 
По данному выше определению касательной уравнение 
откуда следует, что 
То есть уравнение касательной есть 
является одной из первообразных функции 
Найдите ту первообразную функции 
наибольшее значение которой на отрезке 
равно 0.
на отрезке 
Нули производной на интервале 
являются корнями уравнения
то 
то есть 
Отсюда получаем, что 
Таким образом, имеются четыре критические точки 
в интервалах между критическими точками. Множитель 
положителен на интервале 
множитель 
меняет знак в точке 
и положителен в окрестности нуля. Множитель 
в каждой из остальных трех критических точек и положителен при небольших положительных значениях x. В итоге, применяя метод интервалов, получаем распределение знаков, показанное на рисунке.
Имеем:
нетрудно доказать, что 
отсюда следует: 
то есть 
или 
и 
то есть 
и 3, или 
и 12. Так как 
то 
и 
То есть мы получили, что 
функция 
и оно равно 
тоже является первообразной функции 
очевидно, равно 0.