Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2679
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство  левая круг­лая скоб­ка 2 синус 2x минус тан­генс x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус x минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те мень­ше или равно 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Не­ра­вен­ство можно рас­смат­ри­вать толь­ко для тех зна­че­ний не­из­вест­но­го, при ко­то­рых x в квад­ра­те плюс x минус 2 мень­ше или равно 0 и од­но­вре­мен­но опре­де­ле­на функ­ция  тан­генс x, то есть  минус 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 1 и x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z , от­ку­да по­лу­ча­ем объ­еди­не­ние двух по­лу­ин­тер­ва­лов  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ,   — по­сколь­ку длина от­рез­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка равна 3 и мень­ше  Пи .

Если x= минус 2 или x=1, ис­ход­ное не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся. Рас­смот­рим мно­же­ство  левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Здесь  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус x минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та боль­ше 0, по­это­му можно раз­де­лить обе части не­ра­вен­ства на этот мно­жи­тель. Имеем:

2 синус 2x минус тан­генс x мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но 4 синус x ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но синус x левая круг­лая скоб­ка 4 ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: синус x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби мень­ше или равно 0.

Обо­зна­чим левую часть по­след­не­го не­ра­вен­ства через f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка . При­ме­ним метод ин­тер­ва­лов к функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка . Ука­жем точки нулей че­ты­рех со­мно­жи­те­лей в вы­ра­же­нии функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). Обос­ну­ем рас­по­ло­же­ние точек на окруж­но­сти.

Так как  Пи боль­ше 3,14 , то  дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби боль­ше 2, минус 2 боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Кроме того,  Пи мень­ше 3,15, по­это­му  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3,15, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше 1. Имеем:

f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби боль­ше 0,

по­это­му на ин­тер­ва­ле  левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0. По­сколь­ку каж­дый со­мно­жи­тель в вы­ра­же­нии функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в силу не­пре­рыв­но­сти ме­ня­ет знак толь­ко при пе­ре­хо­де через точку его нуля, легко рас­ста­вить знаки этой функ­ции на каж­дом из ин­тер­ва­лов, как это сде­ла­но на ри­сун­ке.

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2671

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Урав­не­ния и не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
?
Сложность: 8 из 10