Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2677
i

Ре­ши­те урав­не­ние 2\log _2x плюс 1 левая круг­лая скоб­ка 3 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _4x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если ве­ли­чи­на x при­над­ле­жит об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ций в левой части урав­не­ния, то, в част­но­сти

 си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x плюс 1 боль­ше 0,2x плюс 1 не равно 1, конец си­сте­мы .

по­это­му мы можем на­пи­сать

 дробь: чис­ли­тель: 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = минус 1 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =3 минус 4x рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 4x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 3 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2x левая круг­лая скоб­ка 3 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка =1,2x левая круг­лая скоб­ка 3 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 8x в квад­ра­те минус 6x плюс 1=0, 8x в квад­ра­те минус 6x минус 1=0. конец со­во­куп­но­сти .

Пер­вое урав­не­ние по­лу­чен­ной со­во­куп­но­сти имеет два ре­ше­ния x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Под­ста­вим эти зна­че­ние в ис­ход­ное урав­не­ние Имеем:

При x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби :

2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби 2 умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию дробь: чис­ли­тель: ц, зна­ме­на­тель: е конец дроби лая часть: 14, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 = дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби 4, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию дробь: чис­ли­тель: ц, зна­ме­на­тель: е конец дроби лая часть: 32, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби 4= минус 1

(то есть это зна­че­ние x яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем).

При x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби : 4x^2=1 и левая часть ис­ход­но­го урав­не­ния не опре­де­ле­на.

Пер­вое урав­не­ние по­лу­чен­ной со­во­куп­но­сти имеет два ре­ше­ния x= дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби и x= дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . Под­ста­вим эти зна­че­ние в ис­ход­ное урав­не­ние Имеем:

При x= дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби :

4x в квад­ра­те не равно 1, 2x плюс 1= дробь: чис­ли­тель: 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше 0,

 дробь: чис­ли­тель: 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби не равно 1, 3 минус 4x= дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 0.

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 минус 4x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те . \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

По тео­ре­ме Виета x_1x_2= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , от­ку­да  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та плюс 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та минус 3 конец дроби , и вы­ра­же­ние (1) можно за­пи­сать в виде

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та минус 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та минус 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = минус 1,

то есть ис­ход­ное урав­не­ние вы­пол­ня­ет­ся.

При x= дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби : 3 минус 4x= дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 0 и левая часть ис­ход­но­го урав­не­ния не опре­де­ле­на.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

За­ме­ча­ние.

Можно вос­поль­зо­вать­ся ра­вен­ством  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию b a умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию d c= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию d a умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию b c и по­лу­чить из ис­ход­но­го сле­ду­ю­щее урав­не­ние

2\log2x плюс 1 левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log4x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 3 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1,

то есть по­лу­чить сле­ду­ю­щую си­сте­му, рав­но­силь­ную ис­ход­но­му урав­не­нию

 си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 3 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1,2x плюс 1 боль­ше 0, 2x плюс 1 не равно 1. конец си­сте­мы .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2670

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы
?
Сложность: 7 из 10