Существует ли касательная к графику функции 
имеющая с графиком ровно две общие точки? Если да, то напишите ее уравнение.
Преобразуем данную функцию к виду
Отсюда видно, что график функции состоит из ветвей двух парабол (см. рисунок).
При x=0 левосторонняя производная функции равна 
а правосторонняя производная имеет другое значение: 
поэтому производная при x=0 не существует. Следовательно, точка 
графика функции (начало координат) не может быть точкой касания искомой прямой и графика.
Найдем прямую 
которая является общей касательной парабол (1) и (2). Касательная имеет с параболой единственную общую точку — точку касания (см. замечание к решению задания 5 варианта 1), поэтому каждое из следующих двух уравнений имеет единственное решение:
Единственность решения каждого уравнения имеет место тогда и только тогда, когда дискриминанты этих уравнений равны нулю, то есть справедлива система уравнений
Таким образом, уравнение общей касательной к параболам (1) и (2) есть 
При этом уравнения (3) и (4) имеют соответствующие (единственные) решения 
Следовательно, найденная прямая является решением задачи. На этом решение можно закончить. Ответ положительный.
Ответ: 
Замечание.
При составлении уравнений (3) и (4) нами использовалась производная. Вообще, эту задачу, можно решить без производной, — даже при составлении уравнения касательной (в частности, — односторонней касательной).
Не используя производную, касательную к параболе (а также к гиперболе и некоторым другим кривым) можно определить как прямую — график функции 
имеющую с параболой 
единственную общую точку, называемую точкой касания.
Используем это определение для составления уравнения касательной к параболе — графику квадратного трехчлена 
проходящей через точку касания с абсциссой 
Запишем уравнение прямой в виде 
Подставляя значение 
получаем 
По данному выше определению касательной уравнение
Преобразуем уравнение 
В силу критерия единственности решения 
откуда следует, что 
То есть уравнение касательной есть
Задание парного варианта: 2672